【摘要】欢迎来到精品学习网高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：“高一数学教案：函数的表示法教案”希望能为您的提供到帮助。

本文题目：高一数学教案：函数的表示法教案

一、 内容与解析

(一) 内容：映射

(二)解析：⑴映射是两个集合 与 中，元素之间存在的某种对应关系.说其是一种特殊的对应，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应.

⑵映射中只允许“一对一”与“多对一”这两种对应的特点，从 到 的映射 : → 实际是要求集合 中的任一元素都必须对应于集合 中唯一的元素.但对集合 中的元素并无任何要求，即允许集合 中的元素在集合 中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与之对应，也可能没有元素与之对应.

⑶映射中对应法则 是有方向的，一般来说从集合 到集合 的映射与从集合 到集合 的映射是不同的.

(4)我们可以把对应关系看成一面镜子，集合 中的元素在这面镜子中存在一个像，一个相对应的元素，原像则是集合 中的元素.这样像和原像的概念就比较容易理解.并且映射中集合 的每一个元素在集合 中都有它的像，通过对应关系——即通过镜子总存在像，而且像是唯一的，不会“照”出许多的像来，这是映射区别于一般对应的本质特征.

二、 目标及其解析：

(一) 教学目标

(1) 了解映射的概念及表示方法;结合简单的对应图示，了解一一映射的概念.

(2) 解析：重点把握映射与函数的区别。

三、 问题诊断分析

函数与映射的区别与联系

(1)函数包括三要素:定义域、值域、两者之间的对应关系;映射包括三要素: 集合A, 集合B, 以及A,B之间的对应关系

(2)函数定义中的两个集合为非空数集; 映射中两个集合中的元素为任意元素,如人、物、命题等都可以.

(3)在函数中,对定义域中的每一个 ,在值域中都有唯一确定的函数值和它对应;在映射中,对集合A中的任意元素 ,在集合B中都有唯一确定的像 和它对应.

(4)在函数中,对值域中的每一个确定的函数值,在定义域中都有确定的自变量的值和它对应;在映射中,对于集合B中的任一元素 ,在集合A中不一定有原像.

(5)函数实际上就是非空数集A到非空数集B的一

个映射

(6)通过右图我们可以清晰的看到这三者的关系.

四、 教学支持条件分析

在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint 2003。因为使用PowerPoint 2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。

五、 教学过程

1. 教学映射概念：

① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意

, ，对应法则：开平方;

， ，对应法则：平方;

, , 对应法则：求正弦;

② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应 为从集合A到集合B的一个映射(mapping).记作“ ”

关键: A中任意，B中唯一;对应法则f.

③ 分析上面的例子是否映射?举例日常生活中的映射实例?

④ 讨论：映射的一些对应情况?(一对一;多对一) 一对多是映射吗?

→ 举例一一映射的实例 (一对一)

2.教学例题：

① 出示例1. 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射?

A={P | P是数轴上的点}，B=R; A={三角形}，B={圆};

A={ P | P是平面直角体系中的点}， ; A={高一某班学生}，B= ?

( 师生探究从A到B对应关系 → 辨别是否映射?一一映射? → 小结：A中任意，B中唯一)

② 讨论：如果是从B到A呢?

③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射?

A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则 ;

，对应法则 ;

， ， ;

设 ;

，

六、 类型题探究

题型一 映射的判断

例1 下列集合 到集合 的对应中，判断哪些是 到 的映射? 判断哪些是 到 的一一映射?

(1) ，对应法则 .

(2) ， ， ， ， .

(3) ， ，对应法则 除以2得的余数.

(4) ， ， 对应法则

.

【思维导图】

【解答关键】根据给出的f分析这个对应是否为“一对一”与“多对一”;若是则为映射，否则不是，再观察是不是一对一的对应，若是则为一一映射.

【规范解答】 (1)是映射，不是一一映射，因为集合 中有些元素(正整数)没有原像.

(2)是映射，是一一映射.不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数.

(3)是映射，因为集合 中不同元素对应集合 中相同的元素.

(4)是映射，不是一一映射，因为集合 中的元素(如-4，4)都对应集合 中的元素(2).

【易错辨析】判断一个对应是不是映射或一一映射，应观察对应的特点;说明一个对应不是映射或一一映射，只须找出一个反例.对于一一映射是一种特殊的映射，它的判断主要考虑：若⑴A中的不同元素在B中有不同的像;⑵B中任何一个元素在A中都有原像，则这个映射就是一 一映射.

【活学活用】1.下列集合 到集合 的对应 是映射的是( )

A. ： 中的数平方;

B. ： 中的数求平方根;

C. ： 中的数取倒数;

D. ： 中的数取绝对值;

1.A. 解析：B中错误在集合A中的元素1在集合B中有两个元素-1，1与之对应，因此不是映射.C，D中错误都在于集合中有0这个元素在集合B中没有相对应的元素.

题型二 映射对应法则的应用

例2 已知A={1， 2，3， }，B={4，7, , },其中 N+.若x A,y B,有对应关系 ： 是从集合A到集合B的一个映射，且 =4, =7,试求 的值.

【解答关键】先通过已知条件求得 ，再通过分析映射的两个集合中元素之间的关系，得出m、n之间的方程，解得相应的参数值.

【规范解答】由 =4, =7,列方程组： 故对应法则为： .

由此判断A中元素3的像是 或 . 若 =10，因 N+不可能成立,所以 =10,解得 =2或n= -5(舍去).

又当集合A中的元素 的像是 时,即 =16, 解得 =5.

当集合A中的元素 的像是 时, 即 =10, 解得 =3.由元素唯一性知, =3舍去.

故 =3,q=1, =5, =3或 =3,q=1, =5, =2.

【归纳总结】通过该题，加深对映射的理解，加深对映射中对应法则的理解和应用.解好此题的关键是分清原象和象各是谁，对应法则是什么，对应法则是如何把象与原象联系在一起的.映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射.

【活学活用】2.设f : A→B是A到B的一个映射，其中A=B={(x，y)|x，y∈R}，f :(x，y)→(x-y，x+y)，求A中元素(-1，2)的象和B中元素(-1，2)的原象.

2.这是一个映射的问题，由已知(x，y)的象为(x-y，x+y)，确定了对应法则.

先求A中元素(-1，2)的象.令x=-1，y=2，

由题意得x-y=-1-2=-3，x+y=-1+2=1，所以(-1，2)的象为(-3，1);

再求B中元素(-1，2)的原象.令 解得

所以(-1，2)的原象是( ， ).

题型三 利用映射研究函数问题

例 3设A={x∣0≤x≤2}，B={y∣1≤y≤2}，图中表示A到B的函数是 ( )