解析：f(x)= 画出图象易知.

12.证明函数f(x)= -x在其定义域内是减函数.

证明:∵函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),

设x1、x2为区间(-∞,+∞)上的任意两个值且x1

f(x2)-f(x1)= - -(x2-x1)= -(x2-x1)

=(x2-x1) =(x2-x1)• .

∵x2>x1,∴x2-x1>0且 + >0.

又∵对任意x∈R,都有 > =|x|≥x,∴有 >x,即有x- <0.

∴x1- <0,x2- <0.

∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)

∴函数f(x)= -x在其定义域R内单调递减.

13.设函数f(x)对于任意x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,若 f(x2)-f(x)> f(bx)-f(b),求x的范围.

解：∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R),

∴2f(x)=f(x)+f(y)=f(2x).

同理,2f(b)=f(2b).

由 f(x2)-f(x)> f(bx)-f(b),

得f(x2)+2f(b)>f(bx)+2f(x),

即f(x2)+f(2b)>f(bx)+f(2x).

即f(x2+2b)>f(bx+2x).

又∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,

∴x2+2b

∴x2-(b+2)x+2b<0.

∴x2-(b+2)x+2b=(x-2)(x-b)<0.

当b>2时,得2

当b<2时,得b

当b=2时,得x∈ .

拓展应用 跳一跳,够得着!

14.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则f(2x-x2)的单调增区间是( )

A.(-∞,2) B.[-2,+∞] C.(-∞,-1] D.[1,+∞)

答案：D

解析：令t=g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1知:当x≥1时,函数g(x)单调递减;当x≤1时,函数g(x)单调递增.又因函数f(t)在(-∞,+∞)上递减,故f(2x-x2)的单调减区间为(-∞,1],增区间为[1,+∞).

15.老师给出一个函数y=f(x),四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质:

甲:对于x∈R,都有f(1+x)=f(1-x);

乙:在(-∞,0]上函数递减;

丙:在(0,+∞)上函数递增;

丁:f(0)不是函数的最小值.

如果其中恰有三人说得正确,请写出一个这样的函数:________________.

答案：f(x)=(x-1)2(不唯一)

解析：f(x)=(x-1)2(答案不唯一,满足其中三个且另一个不满足即可).

f(1+x)=f(1-x)表示对称轴方程为x=1.

16.已知函数f(x)= ,x∈[1,+∞).

(1)当a= 时,求函数f(x)的最小值;

(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.

解：(1)当a= 时,f(x)=x+ +2,设1≤x1

则f(x2)-f(x1)=x2+ -(x1+ )= .

因为1≤x10,2x1x2-1>0,2x1x2>0 f(x2)-f(x1)>0,

即f(x)在[1,+∞]上单调递增,f(x)min=f(1)=1+ +2= .

(2)x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立 x2+2x+a>0恒成立,即a>-x2-2x恒成立,又y=-x2-2x=

-(x+1)2+1≤-3,所以a>-3.

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