9.(2 014•陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.

解析　如图所示，△ADE∽△ABC，设矩形的面积为S，另一边长为y，

则S△ADES△ABC=40-y402=x402.

所以y=40-x，则S=x(40-x)=-(x-20)2+202，

所 以当x=20时，S最大.

答案　20

三、解答题

10.已知函数f(x)=2x，g(x)=12|x|+2.

(1)求函数g(x)的值域;

(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.

解　(1)g(x)=12|x|+2=12|x|+2，

因为|x|≥0，所以0<12|x|≤1，

即2

(2)由f(x)-g(x)=0，得2x-12|x|-2=0，

当x≤0时，显然不满足方程，

当x>0时，由2x-12x-2=0，

整理得(2x)2-2•2x-1=0，(2x-1)2=2，

故2x=1±2，因为2x >0，所以2x=1+2，

即x=log2(1+2).

11.设函数f(x)=x3-92x2+6x-a.

(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值;

(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求实数a的取值范围.

解　(1)f′(x)=3x2-9x+6，

因为x∈R时，f′(x)≥m，

即3x2-9x+(6-m)≥0恒成立，

所以Δ=81-12(6-m)≤0，得m≤-34，

故 m的最大值为-34.

(2)由(1)知，f′(x)=3(x-1)(x-2)，当x<1时，f′(x)>0;当1

所以当x=1时，f(x)取极大值f(1)=52-a;

当x=2时，f(x)取极小值f(2)=2-a;

故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)=0仅有一个实根.

解得a<2或a>52.

∴实数a的取值范围是(-∞，2)∪52，+∞.

B级——能力提高组

1.(2014•湖南卷)已知函数f(x)=x2+ex-12(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)

A.-∞，1e   B.(-∞，e)

C.-1e，e   D.-e，1e

解析　设x0，x20+ex0-12是函数f(x)图象上任意一点，该点关于y轴的对称点-x0，x20+ex0-12在函数g(x)的图象上，则x20+ex0-12=x20+ln(a-x0)，即ln(a-x0)=ex0-12，∴a= x0+e ex0- 12  (x<0).

记h(x)=x+eex-12=x+1eeex，

则h′(x)=1+1eeex•ex=1+1eeex+x>0，

∴h(x)在(-∞，0)上是增函数.

∴a

答案　B

2.(2014•浙江名校联考)已知函数f(x)=x2+1x2+ax+1x+a在定义域上有零点，则实数a的取值范围是________.

解析　f(x)=x+1x2+ax+1x+a-2 ，x≠0，

令x+1x=t，则t∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，

由于f(x)有零点，则关于t的方程t2+at+a-2=0在(-∞，-2]∪[2，+∞)上有解.

∵t≠-1，∴方程t2+at+a-2=0可化为a=2-t2t+1，t∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，问题就转化为a=2-t2t+1=-t+12+2t+1+1t+1=-(t+1)+1t+1+2，t∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，a=-(t+1)+1t+1+2在(-∞，-2]和[2，+∞)上都是减函数，故当t≤-2时，a≥2;当t≥2时，a≤-23，∴a∈-∞，-23∪[2，+∞).

答案　-∞，-23∪[2，+∞)

3.(2014•江苏南京一模)如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x2 m的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.

(1)求x的取值范围(运算中2取1.4);

(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为433ax元/m2，其余区域的造价为12a11元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低?

解　(1)由题意得x≥9，100-2x≥60，1002-2x-2×15x2≥2×10，

解得x≥9，x≤20，-20≤x≤15，即9≤x≤15.

(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得

y=a×π×15x22+433ax× πx2+12a11×104-π×15x22-πx2

=a11π-125x4+43x3-12x2+12×104，

令f(x)=-125x4+43x3-12x2，

则f′(x)=-425x3+4x2-24x=-4x125x2-x+6，

由f′(x)=0，解得x=10或x=15，

列表如下：

x 9 (9,10) 10 (10,15) 15

f′(x)  - 0 + 0

f(x)  ?↘ 极小值 ?

所以当x=10时，y取最小值.

即当x=10 m时，可使“环岛”的整体造价最低.

最后，希望精品小编整理的高一上册数学函数的应用测试对您有所帮助，祝同学们学习进步。

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