16.解：(1)由正弦定理可得： ，

即 ;∵   ∴  且不为0

∴   ∵  ∴                             ……………7分

(2)∵    ∴                        ……………9分

由余弦定理得： ，              ……………11分

又∵ ， ∴ ，解得：                ………………14分

17.解：(1)由已知得： ，                                  ………………2分

且 时，

经检验 亦满足    ∴               ………………5分

∴ 为常数

∴ 为等差数列，且通项公式为             ………………7分

(2)设等比数列 的公比为 ，则 ，

∴ ，则 ，  ∴             ……………9分

①

②

① ②得：

…13分

………………15分

18.解：(1)在 中， ，

在 中， ，

∴     …5分

其中 ，解得：

(注：观察图形的极端位置，计算出 的范围也可得分.)

∴ ，       ………………8分

(2)∵ ，

……………13分

当且仅当 时取等号，亦即 时，

∵

答：当 时， 有最大值 .                              ……………15分

19.解：(1)若过点M的直线斜率不存在，直线方程为： ，为圆O的切线; …………1分

当切线l的斜率存在时，设直线方程为： ，即 ，

∴圆心O到切线的距离为： ，解得：

∴直线方程为： .

综上，切线的方程为： 或                            ……………4分

(2)点 到直线 的距离为： ，

又∵圆被直线 截得的弦长为8  ∴           ……………7分

∴圆M的方程为：                                  ……………8分

(3)假设存在定点R，使得 为定值，设 ， ，

∵点P在圆M上  ∴ ，则       ……………10分

∵PQ为圆O的切线∴ ∴ ，

即

整理得： (*)

若使(*)对任意 恒成立，则                  ……………13分

∴ ，代入得：

整理得： ，解得： 或    ∴ 或

∴存在定点R ，此时 为定值 或定点R ，此时 为定值 .

………………16分

20.解：(1)①设等差数列 的公差为 .

∵ ∴     ∴

∵ 的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项

∴ 即 ，∴

解得： 或

∵   ∴      ∴ ，                 ………4分

②∵  ∴  ∴  ∴ ，整理得：

∵   ∴                                                    ………7分

(2)假设存在各项都是正整数的无穷数列 ，使 对一切 都成立，则

∴

∴ ，……， ，将 个不等式叠乘得：

∴ ( )                                     ………10分

若 ，则   ∴当 时， ，即

∵   ∴ ，令 ，所以

与 矛盾.                                                   ………13分

若 ，取 为 的整数部分，则当 时，

∴当 时， ，即

∵   ∴ ，令 ，所以

与 矛盾.

∴假设不成立，即不存在各项都是正整数的无穷数列 ，使 对一切 都成立.                                                                    ………16分

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