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2014-07-11
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子,常用累加、累积的方法求通项公式。
例:设数列{an}是首项为1的正项数列,且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,求数列{an}的通项公式
解:∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列,∴an+1+an ≠0,∴-=-,由此得出:-=-,-=-,-=-,…,-=-,这n-1个式子,将其相乘得:∴ -=-,
又∵a1=1,∴an=-(n2),∵n=1也成立,∴an=-(n∈N*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式,而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时,可以考虑通过变形,构造出含有 an(或Sn)的式子,使其成为等比或等差数列,从而求出an(或Sn)与n的关系,这是近一、二年来的高考热点,因此既是重点也是难点。
例:已知数列{an}中,a1=2,an+1=(--1)(an+2),n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式 (2)略
解:由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--= (--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--,公比为--1的等比数列。
由a1=2得an--=(--1)n-1(2--) ,于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例:在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1(n∈N*),证明数列{an-n}是等比数列。
证明:本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1,可变形为an+1-(n+1)=4(an-n),又∵a1-1=1,
所以数列{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式,则仍可以通过求出{an-n}的通项公式,再转化到an的通项公式上来。
又例:设数列{an}的首项a1∈(0,1),an=-,n=2,3,4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解:由an=-,n=2,3,4,……,整理为1-an=--(1-an-1),又1-a1≠0,所以{1-an}是首项为1-a1,公比为--的等比数列,得an=1-(1-a1)(--)n-
以上就是精品学习网的编辑为各位学生带来的2014年高一数学必修知识点 数列有关的解法知识,希望给各位考生带来帮助。
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