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一、直线与方程

(1)直线的倾斜角

定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

(2)直线的斜率

①定义:倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当 时， 。当 时， ;当 时， 不存在。

②过两点的直线的斜率公式:

注意下面四点:(1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;

(2)k与P1、P2的顺序无关;

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

(3)直线方程

①点斜式: 直线斜率k，且过点

注意:当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式: ，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式: ( )直线两点 ，

④截矩式: 其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别为 。

⑤一般式: (A，B不全为0)

注意:○1各式的适用范围

○2特殊的方程如:平行于x轴的直线: (b为常数); 平行于y轴的直线: (a为常数);

(4)直线系方程:即具有某一共同性质的直线

(一)平行直线系

平行于已知直线 ( 是不全为0的常数)的直线系: (C为常数)

(二)过定点的直线系

(ⅰ)斜率为k的直线系: ，直线过定点 ;

(ⅱ)过两条直线 ， 的交点的直线系方程为 ( 为参数)，其中直线 不在直线系中。

(5)两直线平行与垂直

当 ， 时， ;

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

(6)两条直线的交点

相交

交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ; 方程组有无数解 与 重合

(7)两点间距离公式:设 是平面直角坐标系中的两个点，则

(8)点到直线距离公式:一点 到直线 的距离

(9)两平行直线距离公式:在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程

1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

(1)标准方程 ，圆心 ，半径为r;

(2)一般方程

当 时，方程表示圆，此时圆心为， 半径为

当 时，表示一个点; 当 时，方程不表示任何图形。

(3)求圆方程的方法:

一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，

若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F;

另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系:

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断:

(1)设直线 ，圆 圆心 到l的距离为 则有

(2)设直线 ，圆 ，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为 ，则有 ; ;

注:如圆心的位置在原点，可使用公式 去解直线与圆相切的问题，其中 表示切点坐标，r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程:

①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 (课本命题).

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广).

4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。

设圆 ，

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。

当 时两圆外离，此时有公切线四条;

当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条;

当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线;

当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线;

当 时，两圆内含; 当 时，为同心圆。

三、立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1) 棱柱:

定义:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各顶点字母，如五棱柱 或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义:有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示:用各顶点字母，如五棱锥

几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台:

定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示:用各顶点字母，如五棱台

几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱:

定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥:

定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。