1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”

a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向;

当&lambda;<0时，&lambda;a与a反方向;

当&lambda;=0时，&lambda;a=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数&lambda;，都有&lambda;a=0。

注：按定义知，如果&lambda;a=0，那么&lambda;=0或a=0。

实数&lambda;叫做向量a的系数，乘数向量&lambda;a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣&lambda;∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(&lambda;>0)或反方向(&lambda;<0)上伸长为原来的∣&lambda;∣倍;

当∣&lambda;∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(&lambda;>0)或反方向(&lambda;<0)上缩短为原来的∣&lambda;∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(&lambda;a)&middot;b=&lambda;(a&middot;b)=(a&middot;&lambda;b)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(&lambda;+&mu;)a=&lambda;a+&mu;a.

数对于向量的分配律(第二分配律)：&lambda;(a+b)=&lambda;a+&lambda;b.

数乘向量的消去律：① 如果实数&lambda;&ne;0且&lambda;a=&lambda;b，那么a=b。② 如果a&ne;0且&lambda;a=&mu;a，那么&lambda;=&mu;。

3、向量的的数量积

定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉&isin;[0，&pi;]。

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a&middot;b。若a、b不共线，则a&middot;b=|a|&middot;|b|&middot;cos〈a，b〉;若a、b共线，则a&middot;b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a&middot;b=x&middot;x'+y&middot;y'。

向量的数量积的运算率

a&middot;b=b&middot;a(交换率);

(a+b)&middot;c=a&middot;c+b&middot;c(分配率);

向量的数量积的性质

a&middot;a=|a|的平方。

a&perp;b 〈=〉a&middot;b=0。

|a&middot;b|&le;|a|&middot;|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(a&middot;b)&middot;c&ne;a&middot;(b&middot;c);例如：(a&middot;b)^2&ne;a^2&middot;b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a&middot;b=a&middot;c (a&ne;0)，推不出 b=c。

3、|a&middot;b|&ne;|a|&middot;|b|

4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

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