上节课我们学习了集合和集合的表示方法，这节课我们来学习集合质检的关系和运算，下面是人教B版高一数学上册第一单元集合之间的关系与运算知识点，一起来学习吧!

一.课标解读

1.《普通高中数学课程》课程中明确指出"理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 在具体情境中,了解全集与空集的含义."

2.重点:子集的概念

3.难点:元素与子集.属于与包含之间的区别.

二.要点扫描

1. 子集的定义

如果集合中的任意一个元素都是集合的元素,则集合是集合的子集.也说集合包含于集合,或集合包含集合,记作或(注意:任何一个集合是它本身的子集)

2. 空集的定义

空集是任意一集合的子集,也就是说,对任意集合,都有.

3. 两集合相等

如果,则等于,记作=;反之,如果=,则.

4. 真子集的定义

如果,且中至少有一个元素不属于,那么集合是集合的真子集,记作.以上条件还可概括为:如果,且,则.(注意:空集是任何非空集合的真子集.)

5. 有限集合的子集个数

个元素的集合有个子集;有个非空子集;有个真子集;有个非空真子集.

6. 维恩图

这种图在数学上也称为文(Tohn Venn,1834年~1923年英国逻辑学家)氏图.它仅仅起着说明各集合之间关系的示意图的作用(就像交通示意图只说明各车站之间的位置关系那样),因此,边界用直线还是曲线,乃实线还虚线都无关紧要,只要封闭并把有关元素或子集统统包在里边就行.决不能理解成圈内的每一点都是这个集合的元素(事实上,这个集合可能与点毫无关系);至于边界上的点是否属于这个集合,也都不必考虑.

三.知识精讲

知识点1区分

表示以空集,为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;

当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.

知识点2区分与

表示元素与集合之间的关系,如:;

表示集合与集合之间的关系,如等.

四.典题解悟

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[题型一]子集与真子集

如果集合中的任意一个元素都是集合的元素,则集合是集合的子集. 如果,且中至少有一个元素不属于,那么集合是集合的真子集.

例1. 满足的集合是什么?

解析:由可知,集合必为非空集合;又由可知,此题即为求集合的所有非空子集。满足条件的集合有,共十五个非空子集。

此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式进行检验，，正确。

答案:15

例2. 已知，试确定A，B，C之间的关系。

解析:由题意可得:A={0，1} , B={，{0}，{1}，{0，1}} , C={1}

答案:A，B，C之间的关系是

[题型二] 区分

是空集，是不含任何元素的集合;{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以{};{}也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素，可见{}，{}，这也体现了"是集合还是元素，并不是绝对的"。

例3. 判断正误

(1) (2) = (3)

(4) (5) (6)

解析: 表示以为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;

当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.

答案: (1) ;(2);(3) ;(4) ;(5) ;(6).

[题型三] 集合的相等

例4. ，若，求。

解析:，即两集合的元素相同，有两种可能：

解得 ; 解得

∴或。

答案: 或。

例5. 含有三个实数的集合可表示为集合也可表示为集合,求.

解析:从集合相等及集合元素的特征入手.由集合元素的确定性及集合相等,得

=-----①,从而有,因为,所以代入①,得-----②,由②易知.当时,与集合的互异性不符,从而,,故.

答案: