二、填空题(每小题5分，共10分)

5.若cos(α-β)=13，则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=________.

解析：　原式=2+2(sin αsin β+cos αcos β)

=2+2cos(α-β)=83.

答案：　83

6.已知cos(π3-α)=18，则cos α+3sin α的值为________.

解析：　∵cos(π3-α)=cos π3cos α+sin π3sin α

=12cos α+32sin α

=12(cos α+3sin α)

=18.

∴cos α+3sin α=14.

答案：　14

三、解答题(每小题10分，共20分)

7.已知sin α=-35，α∈32π，2π，求cos π4-α的值.

解析：　∵sin α=-35，α∈32π，2π.

∴cos α=1-sin2α=1--352=45.

∴cosπ4-α=cos π4cos α+sin π4sin α=22×45+22×-35=210.

8.已知a=(cos α，sin β)，b=(cos β，sin α)，0<β<α<π2，且a•b=12，求证：α=π3+β.

证明：　a•b=cos αcos β+sin βsin α=cos (α-β)=12，

∵0<β<α<π2，∴0<α-β<π2，

∴α-β=π3，∴α=π3+β.

?尖子生题库?☆☆☆

9.(10分)已知sin α-sin β=-12，cos α-cos β=12，且α、β均为锐角，求tan(α-β)的值.

解析：　∵sin α-sin β=-12，①

cos α-cos β=12.②

∴①2+②2，得cos αcos β+sin αsin β=34.③

即cos(α-β)=34.

∵α、β均为锐角，

∴-π2<α-β<π2.

由①式知α<β，

∴-π2<α-β<0.

∴sin(α-β)=-1-342=-74.

∴tan(α-β)=sinα-βcosα-β=-73.

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