10.已知函数f(x)=|x|+|2-x|,若函数g(x)=f(x)-a的零点个数不为0,则a的最小值为________.

解析:由于f(x)=|x|+|2-x|=

所以f(x)的最小值等于2,要使f(x)-a=0有解,应使a≥2,即a的最小值为2.

答案:2

三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)

11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.

(1)若a>b>c且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;

(2)若对x1、x2∈R且x1

证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.

又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.

又∵Δ=b2-4ac≥-4ac>0,

∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,

所以函数f(x)有两个零点.

(2)令g(x)=f(x)- [f(x1)+f(x2)],

则g(x1)=f(x1)-  [f(x1)+f(x2)]

=

∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)•g(x2)<0.

∴g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.

评析:可将方程根的问题转化成函数零点的问题,借助函数的图象和性质进行解答.

12.若函数f(x)=22x+2xa+a+1有零点,求实数a的取值范围.

解:依题意,方程22x+2xa+a+1=0有实数根.

令2x=t(t>0),则t2+at+a+1=0,

13.(1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.

①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;

(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.

解:(1)①f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点⇔方程f(x)=0有两个相等实根⇔Δ=0,

即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,

∴m=4或m=-1.

②解法一:设f(x)的两个零点分别为x1,x2.

则x1+x2=-2m,x1•x2=3m+4.

由题意,知

∴-5

故m的取值范围为(-5,-1).

解法二:由题意,知

∴-5

∴m的取值范围为(-5,-1).

(2)令f(x)=0,得|4x-x2|+a=0,即|4x-x2|=-a.

令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.

作出g(x)、h(x)的图象.

由图象可知,当0<-a<4,即-4

故a的取值范围为(-4,0).

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