8.若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.

解：(1)当a=0时，函数f(x)=-x-1为一次函数，则-1是函数的零点，即函数仅有一个零点.

(2)当a≠0时，函数f(x)=ax2-x-1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2-x-1=0有两个相等实根.则Δ=1+4a=0，解得a=-14.综上，当a=0或a=-14时，函数仅有一个零点.

9.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围.

解：设f(x)=x2+(m-1)x+1，x∈[0,2]，

①若f(x)=0在区间[0,2]上有一解，

∵f(0)=1>0，则应用f(2)<0，

又∵f(2)=22+(m-1)×2+1，

∴m<-32.

②若f(x)=0在区间[0,2]上有两解，

则Δ≥0，0<-m-12<2，f2≥0，

∴m-12-4≥0，-3

∴m≥3或m≤-1，-3

∴-32≤m≤-1.

由①②可知m的取值范围(-∞，-1].

B组　能力突破

1.函数f(x)=x-cos x在[0，+∞)内

(　　)

A.没有零点    B.有且仅有一个零点

C.有且仅有两个零点    D.有无穷多个零点

解析：在同一直角坐标系中分别作出函数y=x和y=cos x的图象，如图，由于x>1时，y=x>1，y=cos x≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x-cos x=0在[0，+∞)内只有一个根，所以f(x)=x-cos x在[0，+∞)内只有一个零点，所以选B.

答案：B

2.(2014•吉林白山二模)已知函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点，则m的取值范围是

(　　)

A.-38，18   B.-38，18

C.-38，18   D.-18，38

解析：当m=0时，函数f(x)=-x-1有一个零点x=-1，满足条件.当m≠0时，函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点，需满足①f(-2)•f(2)<0，或

②f-2=0，-2<14m<0，或③f2=0，0<14m<2.

解①得-18

答案：D

3.已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x，若在区间[-1,3]上函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是________.

解析：由f(x+1)=f(x-1)得，

f(x+2)=f(x)，则f(x)是周期为2的函数.

∵f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x，

∴当x∈[-1,0]时，f(x)=-x，

易得当x∈[1,2]时，f(x)=-x+2，

当x∈[2,3]时，f(x)=x-2.

在区间[-1,3]上函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，即函数y=f(x)与y=kx+k的图象在区间[-1,3]上有4个不同的交点.作出函数y=f(x)与y=kx+k的图象如图所示，结合图形易知k∈0，14].

答案：0，14]

4.(1)m为何值时，f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;

(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求实数a的取值范围.

解：(1)①函数f(x)有且仅有一个零点⇔方程f(x)=0有两个相等实根⇔Δ=0，即4m2-4(3m+4)=0，即m2-3m-4=0，∴m=4或m=-1.

②设f(x)有两个零点分别为x1，x2，

则x1+x2=-2m，x1•x2=3m+4.

由题意，有Δ=4m2-43m+4>0x1+1x2+1>0　⇔x1+1+x2+1>0

m2-3m-4>03m+4-2m+1>0-2m+2>0⇔m>4或m<-1，m>-5，m<1，

∴-5

(2)令f(x)=0，

得|4x-x2|+a=0，

即|4x-x2|=-a.

令g(x)=|4x-x2|，

h(x)=-a.

作出g(x)、h(x)的图象.

由图象可知，当0<-a<4，即-4

故a的取值范围为(-4,0).

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