排列(二)

有重复的排列

上一讲我们讨论的排列中是不允许有重复的元素，但是很多情况下我们碰到的是有重复元素的问题，所以有必要对此作一下讨论。

在定义前，我们先看一下下面的例子：

例：由1-9这九个数字，共可组成多少个六位数?(每个位置上的数字可以重复) 解：1，先确定十万位上的数字。在1-9这九个数字中任取一个，共有9种方法。 2，确定万位上的数字。在1-9这九个数字中任取一个，还是有9种方法。 3，千位，百位，十位和个位上的数字取法如上，都为9种。 4，根据乘法原理，共有 9×9×9×9×9×9=531441 种取法。

定义2：一般地说，从n个不同元素中，任取m (m<=n)个元素(元素可以重复)，按照一定的顺序排成一列，叫做有重复的排列。

在我们身边，“数字型彩票”就是属于有重复的排列。它的游戏规则大家肯定不会陌生，是从0-9这10个数字中任取6个数字组成一个六位数，然后从0-4这5个数字中任取1个数字作为特别号码。只不过这个六位数和数学意义上的六位数有些不同，它允许0作为十万位上的数字。

由上述的定义2，不难算出“数字型彩票”共有每次开奖共有

特别号码个数×106 种

即五百万个不同的开奖号码。

排列(四)

排列数计算公式的应用

学习了排列数的计算后，我们基本可以解决所有只牵涉到排列的问题。看一下下面的这两个例子。

例1：红，黄，蓝三种颜色不同的旗，按不同的次序排成一列表示信号，可以单用一面，或两面，三面并用，问一共可以表示多少不同的信号? 解：一面组成的信号有P(1,3)种; 两面组成的信号有P(2,3)种; 三面组成的信号有P(3,3)种。 根据加法原则，得： P(1,3)+P(2,3)+P(3,3)=3+3*2+3*2*1=15(种)

例2：有一分，两分，五分的硬币各若干枚。从中挑出1-3枚硬币表示一种代号。可以只用一枚，也可用两枚，也可用三枚，允许重复挑选。问一共有多少种不同的代号? 解：这个问题要根据元素重复的排列计算公式来解决。 一枚表示的代号有31种， 两枚表示的代号有32种， 三枚表示的代号有33种。 根据加法原则，得： 31+32+33=3+9+27=39(种)

定义3：从n个不同元素中，任取m (m<=n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P(m,n) 表示。

例如：从5个不同元素中取出3个元素的排列数表示为P(3,5)。求排列数P(m,n)可以这样考虑：设有n个元素m1，m2，...，mn 从其中先任选1个元素排在第一个位置，因为m1，m2，...，mn中任选1个都可以，所以有n种方法;排在第二个位置的元素，是除了选作第一位的元素以外的n-1个元素中再任选一个，所以有n-1种方法;这样下去，选第三个，第四个......第m个位置的元素的方法，数目分别是n-2,n-3,...,n-(m-1)。根据乘法原则，它们的总数是这m个排列方法的数目的积，即n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1),所以P(m,n)=n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1)。这里m<=n。

这就是说，从n个元素中每次取出m个元素，所有的排列总数等于m个连续自然数的积，其中最大的一个数是n，这个公式叫做排列数公式。当m=n时，叫做n个不同元素的全排列。

排列的概念：

关于排列，我们先看下面的例子：

例：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数?

解：题中所指“没有重复数字”就是三位数中的三个数字不能是同一数字。根据题意。

第一步，先确定百位上的数字。在1，2，3，4这四个数字中任取一个，共有4种方法;假设我们取3作为百位数。

第二步，确定十位上的数字。当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字中1，2，4中去取，共有3种方法;假设我们取2作为十位数。

第三步，确定个位上的数字。当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字1和4中去取，共有2种方法。

根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有 4×3×2=24 种。就是说，共可以排成24个不同的三位数。

定义1：一般地说，从n个不同元素中，任取m (m<=n)个元素(这里只研究被取出的元素各不相同的情况)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个m元素的一个排列。

从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素相同，而且排列的顺序也必须完全相同。如果所取的元素不完全相同，如问题中的三位数“123”和“321”，虽然它们的元素相同，但排列顺序不同，也是两个不同的排列。

组合(一)

组合的性质：让我们先看一下下面的例子：

例：北京--天津--上海三个民航站的直达航线，一共有几种不同的飞机票价? 解：因为北京--上海，上海--南京，南京--北京三条航线的距离各不相同，所以有3种不同的飞机票价。

这个问题与需要准备几种不同的飞机票是不同的。飞机票的总数，与两个城市的先后顺序有关，这是一个排列问题;而票价只与两个城市的距离有关，与两个城市的先后顺序无关，因此可以看作是从三个不同的元素中任选两个，不管怎样的顺序并成一组，求一共有多少个不同的组，这就是我们要研究的组合问题。