例3.求

解：设 ，则原函数可化为

而函数

由图像分析得到函数值域为

小结：这是典型利用换元法，化为熟知函数，这类问题的难点是能够认清函数本质上的函数形式，从而能顺利地转化，也就是说问题转化成为在指定区间上求基本函数的值域。易错点是在转化过程中，附加了新变量t的范围，这个范围往往容易丢掉，要引起注意。另外要强调的是在化基本函数过程中，注意数形结合。

例4.求函数 的值域。

解：设

原函数可化为

∴原函数的值域为

小结：这道题方法和思路基本同上，而基本函数模型是二次函数。

例5.求函数 的值域。

分析：对于分子、分母都为x的二次式的分式函数，分别配方后也易处理，因此需要探讨新的方法。

解：首先考察定义域，由分母 ，则函数定义域D=R。

由 可得：(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)=0

当y=1时，上式变成2x=0，x=0∈D∴y=1是值域中的一个元素。

当y≠1时，上式可以看作是关于x的二次方程，因其根x为实数，

∴△=(y+1)2-4(y-1)(y-1)≥0，解之得

综上，y的取值范围(也就是函数的值域)为

小结：这道题应用判别式法(俗称△法)主要用来解分式函数求值域的问题，但在使用判别式法时要注意：由

y=f(x)变为a(y)x2+b(y)x+c(y)=0后，对于x2的系数a(y)应按a(y)=0与a(y)≠0分情况讨论。

例6.已知定义在(-∞，+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2-2x+2，求函数f(x)的解析式。

分析：由图像的对称性可知，f(x)是奇函数，因而可根据奇函数的定义求解。但既然说是定义在全体实数上的函数，因而x=0时，f(x)有定义。不能忘了求f(0)。

解：当x<0时，-x>0，故

f(-x)=(-x)2-2(-x)+2=x2+2x+2

因函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，于是f(-x)=-f(x)，从而f(x)=-f(-x)=

-(x2+2x+2)=-x2-2x-2

又当x=0时，f(0)=f(-0)=-f(0)，从而f(0)=0，

因此f(x)在(-∞，+∞)上的解析式是

小结：

(1)若x=0在奇函数的定义域内，即其图像必过原点;

(2)由奇偶函数在原点一侧的解析式，必能求得它在原点另一侧的解析式，基本思想是通过“-x”实现转化;

(3)容易漏求当x=0时的解析式。

例7.已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，求f(2)

解：观察函数，可知f(x)+8=x5+ax3+bx为奇函数，

令F(x)=f(x)+8，有F(-x)=-F(x)

∴F(2)=-F(-2)=-[f(-x)+8]=-(10+8)=-18　　 F(2)=f(2)+8=-18，

∴f(2)=-26

小结：此题关键在于如何处理f(x)表达式中“-8”这个“尾巴”，去掉它就可以得到一个奇函数。因此可构造一个新的函数F(x)=f(x)+8，就能让这个问题利用奇函数的性质解决。

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