编者按：精品学习网小编为大家收集了“平面三角形与空间四面体之间的类比”，供大家参考，希望对大家有所帮助!

【平面三角形与空间四面体之间的类比】“类比是伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”(波利亚)。新教材中引入类比这一内容，从根本上改变了我以往对数学的看法。虽然我以前也知道到类比，但却不敢把它作为一种数学方法理直气壮地在课堂上讲授，让学生使用。如今总算可以放开手脚，大胆应用了。

在教学中，我进行了多种对象的类比。在我的启发下，学生也主动进行了研究。平面三角形与空间四面体是一组典型的类比对象。现把我和学生的一些研究总结如下，希望能与更多的同仁进行探究。

首先，平面三角形是平面几何中的一个基本图形，而四面体是立体几何中的一个基本图形。二者之间有着密切的联系，同时它们之间的联系体现了平面与空间的联系，一维空间与二维空间的联系，进一步可能有助于对多维空间的理解。

一、从概念上看：三角形是边数最少的多边形，四面体是面数最少的多面体。

二、三角形的任意两边之和大于第三边。四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积。

三、任意一个三角形都有一个外接圆，即不共线三点确定一个圆，这个圆圆心称为三角形的外心，外心是各边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点距离相等。任意一个四面体都有一个外接球，即不共面四点确定一个球;这个球的球心在四面体各个面内的射影是各个面的外心，且它到四面体各顶点的距离也相等。

四、任意一个三角形都有一个内切圆，圆心称为三角形的内心，内心到各边距离相等，是三内角平分线的交点;且设三角形的周长为c,内切圆半径为r,则三角形的面积为

。任意一个四面体都有一个内切球，球心到各个面的距离相等，是从六条棱出发的六个二面角的平分面的交点。且设四面体的表面积为S,内切球半径为R，则四面体的体积为

。

 

五、正三角形棱长为a时，周长为3a,面积为

，高为

，外接圆半径为

，内切圆半径为

。外接圆半径是内切圆半径的2倍。

 

正四面体棱长为a时，表面积为

，高为

，外接球半径为

，

 

内切接球半径为

。外接球半径是内切球半径的3倍。

 

六、任意三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。(重心定理)如图1所示：G为

的重心。且

 　　 　　

任意四面体的顶点与对面重心的连线交于一点，正是四面体的物理重心，且四面体的重心到顶点的距离是它到对面重心距离的3倍。(重心定理的推广)

如图2所示：E，F分别为

的重心，AE与BF相交于点G，则G为四面体A-BCD的重心。

七、三角形中三个顶点的坐标分别为

，则它的重心坐标为

。

 

四面体中四个顶点的坐标分别为

，

，则它的重心坐标为

 

。

 

八、三角形中有余弦定理：

。

 

在四面体A-BCD中，顶点A,B,C,D所对底面面积分别为

;以四面体的各棱为棱的二面角大小分别为

。则有

 

。

 

余弦定理证明如下：

证明：在

中利用射影定理有

 

由上面三式得：

命题得证。

空间中的余弦定理类比证明如下：

证明：由空间的射影定理知

H为点A在平面BCD中的射影，则

同理有：

于是有

=

+

+

所以：

。