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2012-05-28
曲线把坐标平面分成三个区域,若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系:若P在曲线上,则f(x0,y0)=0;若P在曲线内,则f(x0,y0)<0;若P在曲线外,则f(x0,y0)>0;可见,平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.
例6已知椭圆2x2 + y2 = a2 (a>0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点,求实数a的取值范围.
分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.
解:依题意可知,当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。
当A、B同时在椭圆内,则
解得a >17
当A、B同时在椭圆外,则
解得0<6< p>
综上所述,解得0<6 或a>17
例7若抛物线y2=4mx (m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部,求实数m的取值范围.
分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.
解:∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部,
∴(m-2m)2+(0-1)2<4 即m2<3
又∵m≠0
∴-3 <0或0<3< p>
四、利用三角函数的有界性构造不等式
曲线的参数方程与三角函数有关,因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程,后利用三角函数的有界性构造不等式求解。
例8 若椭圆x2+4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点,
求实数a的取值范围.
分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.
解:设椭圆的参数方程为 (θ为参数)
代入x2=2y 得
4cos2θ= 2(a+sinθ)
∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178
又∵-1≤sinθ≤1,∴-1≤a≤178
例9 已知圆C:x2 +(y-1)2= 1上的点P(m,n),使得不等式m+n+c≥0恒成立,求实数c的取值范围
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