【摘要】“几何中求参数取值范围的数学方法”与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，那么，如何构造不等式呢?本文介绍几种常见的方法：

一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.

例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)

求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.

解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1

又∵线段AB的垂直平分线方程为

y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )

令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2

又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点

∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a

∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.

分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.

解: 依题意有

∴tanθ=2S

∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4

又∵0≤θ≤π

∴π4 <θ< p>

例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )

A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>

分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.

解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a

得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0

∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立

又∵ y02≥0

而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )