二、利用判别式构造不等式

在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.

例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )

A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]

分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0

解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)

由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0

∵直线L与抛物线有公共点

∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)

例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.

分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.

解：由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0

∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则

解得 -2<-2< p>

三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式

曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.

例6已知椭圆2x2 + y2 = a2 (a>0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点，求实数a的取值范围.

分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.

解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。

当A、B同时在椭圆内，则

解得a >17

当A、B同时在椭圆外，则

解得0<6< p>

综上所述，解得0<6 或a>17

例7若抛物线y2=4mx (m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部，求实数m的取值范围.

分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.

解：∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部，

∴(m-2m)2+(0-1)2<4 即m2<3

又∵m≠0

∴-3 <0或0<3< p>

四、利用三角函数的有界性构造不等式

曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。

例8 若椭圆x2+4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点,

求实数a的取值范围.

分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.

解：设椭圆的参数方程为 (θ为参数)

代入x2=2y 得

4cos2θ= 2(a+sinθ)

∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178

又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178

例9 已知圆C：x2 +(y-1)2= 1上的点P(m,n)，使得不等式m+n+c≥0恒成立，求实数c的取值范围

分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围.

解：∵点P在圆上，∴m = cosβ,n = 1+sinβ(β为参数)

∵m+n = cosβ+1+sinβ = 2 sin(β+ π4 )+1

∴m+n最小值为1-2 ，

∴-(m+n)最大值为2 -1

又∵要使得不等式c≥-(m+n) 恒成立

∴c≥2 -1

五、利用离心率构造不等式

我们知道，椭圆离心率e∈(0,1)，抛物线离心率e = 1，双曲线离心率e>1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.

例10已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.

分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率0<1,建立相关不等式关系求解.< p>

解：依题意得F的坐标为(2,0)，L:x = 32

设椭圆中心为(m,0)，则 m-2 =c和 m-32 = a2c

两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2

∵0<1，∴0<1,解得m>2，

又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上，

∴0 = km+3 ,即m = - 3k ,

∴- 3k >2，解得-32 <0< p>

上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能让同学们了解这类问题的常用求法，并能认真体会、理解掌握，在以后的学习过程中能够灵活运用。

总结：高中数学学习方法：求参数取值范围的方法就为大家介绍到这儿了，希望小编的整理可以帮助到大家，祝大家学习进步。

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