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2016-08-31
变式训练
1.设集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.
解：对任意m∈A，则有m=2n=2•2n-1，n∈N*，因n∈N*，故n-1∈N，有2n-1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以A⊆B.
而10∈B但10 A，即A B，那么A∩B=A，A∪B=B.
2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.
解：满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3，B={3};还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3};还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.
3.设集合A={-4,2，a-1，a2}，B={9，a-5,1-a}，已知A∩B={9}，求a.
解：∵A∩B={9}，则9∈A，a-1=9或a2=9.
∴a=10或a=±3.
当a=10时，a-5=5 ,1-a=-9;
当a=3时，a-1=2不合题意;
当a=-3时，a-1=-4不合题意.
故a=10.此时A={-4,2,9,100}，B={9,5，-9}，满足A∩B={9}.
4.设集合A={x|2x+1<3}，B={x|-3
A.{x|-3
C.{x|x>-3} D.{x|x<1}
解析：集合A={x|2x+1<3}={x|x<1}，
观察或由数轴得A∩B={x|-3
答案：A
例2 设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值.
活动：明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B=B的集合A，B的关系.集 合A是方程x2+4x=0的解组成的集合，可以发现，B⊆A，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值.利用集合的表示 法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值.
解：由题意得A={-4,0}.
∵A∩B=B，∴B⊆A.
∴B= 或B≠ .
当B= 时，即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解，
则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.
当B≠ 时，若集合B仅含有一个元素，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1，
此时，B={x|x2=0}={0}⊆A，即a=-1符合题意.
若集合B含有两个元素，则这两个元素是-4,0，
即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.
则有-4+0=-2(a+1)，-4×0=a2-1.
解得a=1，则a=1符合题意.
综上所得，a=1或a≤-1.
变式训练
1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆(A∩B)成立的所有a值的集合是什么?
解：由题意知A⊆(A∩B)，即A⊆B，A非空，利用数轴得 解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.
2.已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m -1}，且A∪B=A，试求实数m的取值范围.
分析：由A∪B=A得B⊆A，则有B= 或B≠ ，因此对集合B分类讨论.
解：∵A∪B=A，∴B⊆A.
又∵A={x|-2≤x≤5}≠ ，∴B= ，或B≠ .
当B= 时，有m+1>2m-1，∴m<2.
当B≠ 时，观察图4：
图4
由数轴可得 解得2≤m≤3.
综上所述，实数m的取值范围是m<2或2≤m≤3，即m≤3.
点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.
知能训练
课本本节练习1,2,3.
【补充练习】
1.设集合A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，
(1)求A∩B，A∪B.
(2)用适当的符号(⊇，⊆)填空：
A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B.
解：(1)因A，B的公共元素为5,8，故两集合的公共部分为5,8，
则A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.
又A，B两集合的所有相异元素为3,4,5,6,7,8，故A∪B={3,4,5,6,7,8}.
(2)由Venn图可知
A∩B⊆A，B⊇A∩B，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∩B⊆A∪B.
2.设A={x|x<5}，B={x|x≥0}，求A∩B.
解：因x<5及x≥0的公共部分为0≤x<5，
故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.
3.设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B.
解：因三角形按角分类时，锐角三角形和直角三角形彼此孤立，故A，B两集合没有公共部分.
所以A∩B={x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}= .
4.设A={x|x>-2}，B={x|x≥3}，求A∪B.
解：在数轴上将A，B分别表示出来，得A∪B={x|x>-2}.
5.设A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，求A∪B.
解：因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B={x|x是平行四边形}.
6.已知M={1}，N={1,2}，设A={(x，y)|x∈M，y∈N}，B={(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.
分析：M，N中的元素是数，A，B中的元素是平面内的点集，关键是找其元素.
解：∵M={1}，N={1,2}，∴A={(1,1)，(1,2)}，B={(1,1)，(2,1)}，故A∩B={(1,1)}，A∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}.
7.若A，B，C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有( )
A.A⊆C B.C⊆A C.A≠C D.A=
解析：思路一：∵(B∩C)⊆B，(B∩C)⊆C，A∪B=B∩C，
∴A∪B⊆B，A∪B⊆C.∴A⊆B⊆C.∴A⊆C.
思路二：取满足条件的A={1}，B={1,2}，C={1,2,3}，排除B，D，
令A={1,2}，B={1,2}，C={1,2}，则此时也满足条件A∪B=B∩C，
而此时A=C，排除C.
答案：A
拓展提升
观察：(1)集合A={1,2}，B={1,2,3,4}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系;
(2)当A= 时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系;
(3)当A=B={1,2}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系.
由(1)(2)(3)你发现了什么结论?
图5
活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集 合A，B的关系.用Venn图来发现运算结果与集合A，B的关系.(1)(2)(3)中的集合A，B均满足A⊆B，用Venn图表示，如图5所示，就可以发现A∩B，A∪B与集合A，B的关系.
解：A∩B=A⇔A⊆B⇔A∪B=B.
用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下：
A∪B=B∪A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B);A∪A=A，A∪ =A，A⊆B⇔A∪B=B;
A∩B=B∩A;(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B;A∩A=A;A∩ = ;A⊆B⇔A∩B=A.
课堂小结
本节主要学习了：
1.集合的交集和并集.
2.通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集.
作业
1.课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律?
2.请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义.
3.书面作业：课本习题1.1，A组，6,7,8.
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