【例2】设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ,求f(-2)的取值范围

解：由已知1≤a-b≤2, ①, 2≤a+b≤4 ②

若将f(-2)=4a-2b用a-b与a+b,表示，则问题得解

设4a-2b=m(a-b)+n(a+b), (m,n为待定系数)

即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,

于是得 得：m=3, n=1

由①×3+②×1得5≤4a-2b≤10

即5≤f(-2)≤10,

另法：由 得

∴f(-2)=4a-2b=3 f(-1)+ f(1)……

◆特别提醒:常见错解:由①②解出a和b的范围,再凑出4a-2b的范围.错误的原因是a和b不同时接近端点值,可借且于线性规划知识解释.

【例3】(1)设A=xn+x-n，B=xn-1+x1-n，当x∈R+，n∈N时， 比较A与B的大小.

(2)设00且a≠ ，试比较|log3a(1-x)3|与|log3a(1+x)3|的大小.

解: (1)A-B=(xn+x-n)-(xn-1+x1-n)

=x-n(x2n+1-x2n-1-x)

=x-n[x(x2n-1-1)-(x2n-1-1)]

=x-n(x-1)(x2n-1-1).

由x∈R+，x-n>0，得

当x≥1时，x-1≥0，x2n-1-1≥0;

当x<1时，x-1<0，x2n-1<0，即

x-1与x2n-1-1同号.∴A-B≥0.∴A≥B.

(2)∵0

①当3a>1，即a> 时，

|log3a(1-x)3|-|log3a(1+x)3|

=|3log3a(1-x)|-|3log3a(1+x)|

=3[-log3a(1-x)-log3a(1+x)]

=-3log3a(1-x2).

∵0<1-x2<1，∴-3log3a(1-x2)>0.

②当0<3a<1，即0

|log3a(1-x)3|-|log3a(1+x)3|

=3[log3a(1-x)+log3a(1+x)]

=3log3a(1-x2)>0.

综上所述，|log3a(1-x)3|>|log3a(1+x)3|.

◆提炼方法：(1)作差分解因式、配方或利用单调性,分类判断差式的符号.

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