例3 写出下列命题的否定。

(1) 若x2>4 则x>2.。

(2) 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

(3) 可以被5整除的整数，末位是0。

(4) 被8整除的数能被4整除。

(5) 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

解(1)否定：存在实数 ，虽然满足 >4，但 ≤2。或者说：存在小于或等于2的数 ，满足 >4。(完整表达为对任意的实数x, 若x2>4 则x>2)

(2)否定：虽然实数m≥0,但存在一个 ，使 + -m=0无实数根。(原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。)

(3)否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

(4)否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)

(5)否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。(原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。)

例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

(1)p：若x>y,则5x>5y;

(2)p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2;

(3)p：正方形的四条边相等;

(4)p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

解：(1) P：若 x>y，则5x≤5y; 假命题

否命题：若x≤y，则5x≤5y;真命题

(2) P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2;真命题

否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2);假命题。

(3) P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等;假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

(4) P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。

评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

1.任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题;而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2.命题的否定(非)是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真;而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3. 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”;而它的否命题为 “若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。

六、回顾反思

在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。

七、课后练习

1.命题p：存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根，则“非p”形式的命题是( )

A.存在实数m，使得方程x2+mx+1=0无实根;

B.不存在实数m，使得方程x2+mx+1=0有实根;

C.对任意的实数m，使得方程x2+mx+1=0有实根;

D.至多有一个实数m，使得方程x2+mx+1=0有实根;

2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为( )

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

3.命题“xR，x2-x+3>0”的否定是

4.“末位数字是0或5的整数能被5整除”的

否定形式是

否命题是

5.写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)p：m∈R，方程x2+x-m=0必有实根;

(2)q：R，使得x2+x+1≤0;

6.写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：

(1)若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根.

(2)平方和为0的两个实数都为0.

(3)若 是锐角三角形， 则 的任何一个内角是锐角.

(4)若abc=0，则a,b,c中至少有一为0.

(5)若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2.

八、参考答案：

1. B

2.C

3. xR，x2-x+3≤0

4.否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除

否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除

5.(1)p：m∈R，方程x2+x-m=0无实根;真命题。

(2)q：R，使得x2+x+1>0;真命题。

6. ⑴ 若m>1，则方程x2-2x+m=0无实数根，(真);

⑵平方和为0的两个实数不都为0(假);

⑶若 是锐角三角形， 则 的任何一个内角不都是锐角(假);

⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0(假);

⑸若(x-1)(x-2)=0，则 或 ，(真).

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