(2)∵ ，即

也就是

∵ ，∴

所以 或 .

解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决.

例3.如图，在直角△ABC中，已知 ，若长为 的线段 以点 为中点，问 的夹角 取

何值时 的值最大?并求出这个最大值

分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得

,再结合直角三

角形和各线段长度特征法解决问题

解：

点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算.

【反馈练习】

1.已知向量 满足 则 与 的夹角为

2.如图，在四边形ABCD中，

，则 的值为4

3.若向量 满足 , 的夹角为60°，则 =

4.若向量 ,则

5.已知 a=4,b=5,a+b= ,求：① a?b ;②(2a-b) ?(a+3b)

解：(1)a+b2=(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+2a?b+b2，∴

(2)(2a-b)?(a+3b)=2a2+5a?b-3b2=2a2+5a?b-3b2=2×42+5×(-10)-3×52=-93.

6.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.

解：∵且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，

∴(a+3b)?(7a-5b)=0，(a-4b)?(7a-2b)=0 ∴7a2+16 a?b-15 b2=0，7a2-30 a?b+8 b2=0，

∴b2=2 a?b，a=b ∴ ∴

第3课　向量的坐标运算

【考点导读】

1.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

2.会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.

3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题.

【基础练习】

1 若 = ， = ，则 =

2 平面向量 中，若 ， =1，且 ，则向量 =

3.已知向量 ，且A、B、C三点共线，则k=

4.已知平面向量 ， ，且 ，则 1

【范例导析】

例1.平面内给定三个向量 ，回答下列问题：

(1)求满足 的实数m,n;

(2)若 ，求实数k;

(3)若 满足 ，且 ，求

分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.

解：(1)由题意得

所以 ，得

(2)

(3)设 ，则

由题意得

得 或 ∴

点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。

例2.已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(-3，-1)，BC边上的高为AD，求 及点D的坐标、

分析:注意向量坐标法的应用,及平行、垂直的充要条件.

解：设点D的坐标为(x,y)

∵AD是边BC上的高，

∴AD⊥BC，∴ ⊥

又∵C、B、D三点共线，

∴ ∥

又 =(x-2,y-1), =(-6,-3)

=(x-3,y-2)

∴

解方程组，得x= ,y=

∴点D的坐标为( ， )， 的坐标为(- ， )

点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题.

例3.已知向量 且

求(1) 及 ;(2)若 的最小值是 ，求 的值。

分析:利用向量的坐标运算转化为函数的最值问题求解.

解：(1)

，

。

(2)

(1)当 时，

(2)当 时，

(3)当 时，

综上所述： 。

点拨:注意运用不同章节知识综合处理问题,对于求二次函数得分最值问题,注意分类讨论.