【答案】

3.(2010?北京高考理科?T20)已知集合

对于 ， ，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 ;

(Ⅰ)证明： ，且 ;

(Ⅱ)证明： 三个数中至少有一个是偶数

(Ⅲ) 设P ，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为 (P).

证明： (P)≤ .

【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力，考查了反证法、不等式证明等知识.本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求.要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养.

【思路点拨】(I)直接按定义证明即可;(Ⅱ)“至少”问题可采用反证法证明;(Ⅲ)把 表示出来，再利用均值不等式证明.

【规范解答】(I)设 ， ，

因为 ， ，所以 ,

从而

又

由题意知 ， ， .

当 时， ;

当 时，

所以

(II)设 ， ，

， ， .

记 ，由(I)可知

，

所以 中1的个数为 ， 中1的

个数为 .

设 是使 成立的 的个数，则

由此可知， 三个数不可能都是奇数，

即 , , 三个数中至少有一个是偶数.

(III) ,其中 表示 中所有两个元素间距离的总和，

设 中所有元素的第 个位置的数字中共有 个1， 个0

则 =

由于

所以

从而

【方法技巧】(1)证明“至少有一个……”的时，一般采用反证法;

(2)证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式.

4.(2010?江苏高考?T23)已知△ABC的三边长都是有理数。

求证：cosA是有理数;

(2)求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。

【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。

【思路点拨】(1)利用余弦定理表示cosA，由三边 是有理数，求得结论;(2)可利用数学归纳法证明.

【规范解答】方法一：(1)设三边长分别为 ， ，∵ 是有理数，

是有理数，分母 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，

∴ 必为有理数，∴cosA是有理数。

(2)①当 时，显然cosA是有理数;

当 时，∵ ，因为cosA是有理数， ∴ 也是有理数;

②假设当 时，结论成立，即coskA、 均是有理数。

当 时， ，

，

，

解得：

∵cosA， ， 均是有理数，∴ 是有理数，

∴ 是有理数。

即当 时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。

方法二：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

是有理数。

(2)用数学归纳法证明cosnA和 都是有理数。

①当 时，由(1)知 是有理数，从而有 也是有理数。

②假设当 时， 和 都是有理数。

当 时，由 ，

，

及①和归纳假设，知 和 都是有理数。

即当 时，结论成立。

综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。

5.(2009江苏高考)设 ≥ >0,求证： ≥ .

【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。

证明：

因为 ≥ >0,所以 ≥0， >0，

从而 ≥0，

即 ≥ .

6.(2008安徽高考)设数列 满足 为实数

(Ⅰ)证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ;

(Ⅱ)设 ，证明： ;

(Ⅲ)设 ，证明：

【解析】(Ⅰ)必要性：∵ ，又∵ ，∴ ，即 .

充分性：设 ，对任意 用数学归纳法证明 .

当 时， .

假设当 时， ，则 ，且 ， .

由数学归纳法知， 对任意 成立.

(Ⅱ) 设 ，当 时， ，结论成立;

当 时，∵ ，∴ .

∵ ，由(Ⅰ)知 ，∴ 且 ，

∴ ，

∴ .

(Ⅲ)设 ,当 时， ，结论成立;

当 时，由(Ⅱ)知 ，

∴ .

∴

.