7、不确定度关系(uncertainty relatoin)

经典力学：运动物体有完全确定的位置、动量、能量等。微观粒子：位置、动量等具有不确定量(概率)。

(1)电子衍射中的不确定度

如图所示，一束电子以速度 v 沿 oy 轴射向狭缝。电子在中央主极大区域出现的几率最大。在经典力学中，粒子(质点)的运动状态用位置坐标和动量来描述，而且这两个量都可以同时准确地予以测定。然而，对于具有二象性的微观粒子来说，是否也能用确定的坐标和确定的动量来描述呢?

下面我们以电子通过单缝衍射为例来进行讨论。

设有一束电子沿oy轴射向屏AB上缝宽为a的狭缝，于是，在照相底片CD上，可以观察到如下图所示的衍射图样。如果我们仍用坐标x和动量p来描述这一电子的运动状态，那么，我们不禁要问：一个电子通过狭缝的瞬时，它是从缝上哪一点通过的呢?也就是说，电子通过狭缝的瞬时，其坐标x为多少?显然，这一问题，我们无法准确地回答，因为此时该电子究竟在缝上哪一点通过是无法确定的，即我们不能准确地确定该电子通过狭缝时的坐标。

研究表明：

对于第一衍射极小， 式中 为电子的德布罗意波长。电子的位置和动量分别用x和p来表示。电子通过狭缝的瞬间，其位置在 x 方向上的不确定量为 ，同一时刻，由于衍射效应，粒子的速度方向有了改变，缝越小，动量的分量 px变化越大。

分析计算可得： 式中h为普朗克常量。这就是著名的不确定性关系，简称不确定关系。

上式表明：

①许多相同粒子在相同条件下实验，粒子在同一时刻并不处在同一位置。

②用单个粒子重复，粒子也不在同一位置出现。

例题解析：

例1：一颗质量为10g 的子弹，具有200m•s-1的速率，若其动量的不确定范围为动量的0. 01%(这在宏观范围是十分精确的了)，则该子弹位置的不确定量范围为多大?

解：子弹的动量

动量的不确定范围

由不确定关系式 ，得子弹位置的不确定范围

我们知道，原子核的数量级为10-15m，所以，子弹位置的不确定范围是微不足道的。可见子弹的动量和位置都能精确地确定，不确定关系对宏观物体来说没有实际意义。

例2：一电子具有200 m/s的速率，动量的不确定范围为动量的0.01%(这已经足够精确了)，则该电子的位置不确定范围有多大?

解 : 电子的动量为：

动量的不确定范围

由不确定关系式，得电子位置的不确定范围

我们知道原子大小的数量级为10-10m，电子则更小。在这种情况下，电子位置的不确定范围比原子的大小还要大几亿倍，可见企图精确地确定电子的位置和动量已是没有实际意义。

8、微观粒子和宏观物体的特性对比

宏观物体 微观粒子

具有确定的坐标和动量，可用牛顿力学描述。 没有确定的坐标和动量，需用量子力学描述。

有连续可测的运动轨道，可追踪各个物体的运动轨迹。 有概率分布特性，不可能分辨出各个粒子的轨迹。

体系能量可以为任意的、连续变化的数值。 能量量子化 。

不确定度关系无实际意义 遵循不确定度关系

9、不确定关系的物理意义和微观本质

(1)物理意义：

微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量 越小，动量的不确定量 就越大，反之亦然。

(2) 微观本质：是微观粒子的波粒二象性及粒子空间分布遵从统计规律的必然结果。

不确定关系式表明：

① 微观粒子的坐标测得愈准确( ) ，动量就愈不准确( ) ;微观粒子的动量测得愈准确( ) ，坐标就愈不准确( ) 。但这里要注意，不确定关系不是说微观粒子的坐标测不准;也不是说微观粒子的动量测不准;更不是说微观粒子的坐标和动量都测不准;而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准。

② 为什么微观粒子的坐标和动量不能同时测准?这是因为微观粒子的坐标和动量本来就不同时具有确定量。这本质上是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。由以上讨论可知，不确定关系是自然界的一条客观规律，不是测量技术和主观能力的问题。

③ 不确定关系提供了一个判据：当不确定关系施加的限制可以忽略时，则可以用经典理论来研究粒子的运动。当不确定关系施加的限制不可以忽略时，那只能用量子力学理论来处理问题。

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