图2

应用示例

例1 集合A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么?

活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.

解：因为A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，在数轴上表示，如图3所示，所以A∩B={x|00}，A∩B∩C= .

图3

点评：本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义，直接观察或借助于数轴或Venn图写出结果.

变式训练

1.设集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.

解：对任意m∈A，则有m=2n=2•2n-1，n∈N*，因n∈N*，故n-1∈N，有2n-1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以A⊆B.

而10∈B但10 A，即A B，那么A∩B=A，A∪B=B.

2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.

解：满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3，B={3};还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3};还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.

3.设集合A={-4,2，a-1，a2}，B={9，a-5,1-a}，已知A∩B={9}，求a.

解：∵A∩B={9}，则9∈A，a-1=9或a2=9.

∴a=10或a=±3.

当a=10时，a-5=5 ,1-a=-9;

当a=3时，a-1=2不合题意;

当a=-3时，a-1=-4不合题意.

故a=10.此时A={-4,2,9,100}，B={9,5，-9}，满足A∩B={9}.

4.设集合A={x|2x+1<3}，B={x|-3

A.{x|-3

C.{x|x>-3}           D.{x|x<1}

解析：集合A={x|2x+1<3}={x|x<1}，

观察或由数轴得A∩B={x|-3

答案：A

例2 设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值.

活动：明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B=B的集合A，B的关系.集 合A是方程x2+4x=0的解组成的集合，可以发现，B⊆A，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值.利用集合的表示 法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值.

解：由题意得A={-4,0}.

∵A∩B=B，∴B⊆A.

∴B= 或B≠ .

当B= 时，即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解，

则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.

当B≠ 时，若集合B仅含有一个元素，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1，

此时，B={x|x2=0}={0}⊆A，即a=-1符合题意.

若集合B含有两个元素，则这两个元素是-4,0，

即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.

则有-4+0=-2(a+1)，-4×0=a2-1.

解得a=1，则a=1符合题意.

综上所得，a=1或a≤-1.

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