(三)例题剖析，巩固提高

例1(课本P3例1):如果让计算机判断7是否为质数，如何设计算法步骤?

算法：

第一步，用2除7，得到余数1,所以2不能整除7.

第二步，用3除7，得到余数1,所以3不能整除7.

第三步，用4除7，得到余数3,所以4不能整除7.

第四步，用5除7，得到余数2,所以5不能整除7.

第五步，用6除7，得到余数1,所以6不能整除7.

因此，7是质数.

课堂练习1：

整数89是否为质数?如果让计算机判断89是否为质数，按照上述算法需要设计多少个步骤?

思考4:用2～88逐一去除89求余数，需要87个步骤，这些步骤基本是重复操作，我们可以按下面的思路改进这个算法，减少算法的步骤.

(1)用i表示2～88中的任意一个整数，并从2开始取数;

(2)用i除89，得到余数r. 若r=0，则89不是质数;若r≠0，将i用i+1替代，再执行同样的操作;

(3)这个操作一直进行到i取88为止.

你能按照这个思路，设计一个“判断89是否为质数”的算法步骤吗?

算法设计:

第一步，令i=2;

第二步，用i除89，得到余数r;

第三步，若r=0，则89不是质数，结束算法;若r≠0，将i用i+1替代;

第四步，判断“i>88”是否成立?若是，则89是质数，结束算法;否则，返回第二步.

探究:一般地，判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计?

在中央电视台幸运52节目中,有一个猜商品价格的环节,竟猜者如在规定的时间内大体猜出某种商品的价格,就可获得该件商品.现有一商品,价格在0~8000元之间,采取怎样的策略才能在较短的时间内说出比较接近的答案呢?

例2、一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，要数脑袋整17，多少只小兔多少只鸡?

算法1：S1  首先计算没有小兔时，小鸡的数为：17只，腿的总数为34条。

S2  再确定每多一只小兔、减少一只小鸡增加的腿数2条。

S3  再根据缺的腿的条数确定小兔的数量： (48-34)/2=7只

S4  最后确定小鸡的数量：17-7=10只.

算法2：S1  首先设 只小鸡， 只小兔。

S2  再列方程组为：

S3  解方程组得：

S4  指出小鸡10只，小兔7只。

算法3：S1  首先设 只小鸡，则有 只小兔

S2  列方程

S3  解方程得 ，则

S4  指出小鸡10只，小兔7只.

算法4：S1 “请一名驯兽师”所有小鸡抬一条腿，所有小兔抬两条腿

S2  有小兔 只

S3  有小鸡 只

S4  指出小鸡10只，小兔7只.

算法5：S1  有小兔 只

S2  有小鸡 只

二分法：

对于区间[a,b ]上连续不断，且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，而得到零点近似值的方法叫做二分法.

例3(课本P4例2)：写出用“二分法”求方程  的近似解的算法.

算法分析：

令f(x)= ，则方程   的解就是函数f(x)的零点.

第一步，令f(x)=  ，给定精确度d.

第二步，确定区间[a，b]，满足f(a)·f(b)<0.

第三步，取区间中点   .

第四步，若f(a)·f(m)<0,则含零点的区间为[a,m],否则，含零点的区间为[m，b].

将新得到的含零点的区间仍记为[a,b];

第五步，判断[a,b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，则m是方程的近似解;否则，返回第三步.

对于方程   ,当d=0.005，按照以上算法，可以得到下表.

a

b

|a-b|

1

2

1

1

1.5

0.5

1.25

1.5

0.25

1.375

1.5

0.125

1.375

1.437 5

0.062 5

1.406 25

1.437 5

0.031 25

1.406 25