学生阅读课本内容，分析研究，独立的解决问题。

教师巡视，加强对学生的个别指导。

由学生回答求最大公约数的两种方法，简要说明其步骤，并能说出其理论依据。

由学生写出更相减损法和辗转相除法的算法，并编出简单程序。

教师将两种算法同时显示在屏幕上，以方便学生对比。

教师将程序显示于屏幕上，使学生加以了解。 数学教学要有学生根据自己的经验，用自己的思维方式把要学的知识重新创造出来。这种再创造积累和发展到一定程度，就有可能发生质的飞跃。在教学中应创造自主探索与合作交流的学习环境，让学生有充分的时间和空间去观察，分析，动手实践，从而主动发现和创造所学的数学知识。

求两个正整数的最大公约数是本节课的一个重点，用学生非常熟悉的问题为载体来讲解算法的有关知识，，强调了提供典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。为了能在计算机上实现，还适当展示了将自然语言或程序框图翻译成计算机语

言的内容。总的来说，不追求形式上的严谨，通过案例引导学生理解相应内容所反映的数学思想与数学方法。

应用

举例 例1 ：用等值算法(更相减损术)求下列两数的最大公约数。

(1)225，135     (2)98，280

例2：用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确。 学生练习，教师巡视检查。

学生回答。 巩固所学知识，进一步加深对知识的理解，用辗转相除法步骤较少，而更相减损术虽然有些步骤较长，但运算简单。

体会我国古代数学中“寓理于算”的思想。

深化

算法

应用

举例 2.割圆术

魏晋时期数学家刘徽，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”

即从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐次递增的数值。

阅读课本P ----P ，

步骤：

第一，从半径为1的圆内接正六边形开始，计算它的面积 ;

第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形…的面积，到一定的边数(设为2m)为止，得到一列递增的数 ，

第三，在第二步中各正边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积 与相应的面积 相加，得 ，这样又得到一列递增数： ， ， ，…， 。

第四，圆面积 满足不等式

估计 的近似值，即圆周率的近似值。

算法：

设圆的半径为1，弦心距为 ，正 边形的边长为 ，面积为 ，由勾股定理得

，

则

图可知，正 边形的面积等于正 边形的面积加上 个等腰三角形的面积和，即

( )

利用这个递推公式，可以得到正六边形的面积为 ，

由于圆的半径为1，所以随着 的增大， 的值不断趋近于圆周率。

程序：

n=6;

x=1;

s=6*sqrt(3)/4;

for I=1:1:16

h=sqrt(1-(x/2)ˆ2);

s=s+n*x*(1-h)/2;

n=2*n;

x=sqrt((x/2) ˆ2+(1-h)ˆ2);

end

print(%io(2),n,s) 学生阅读课本，教师巡视注意个别指导，帮助学生识图，分析。

教师概括割圆术的步骤，学生观察图形，引导学生提出问题并解答。

步骤较复杂，教师注意结合图形帮助学生分析，理解。

通过教师分析的割圆术的步骤，又学生讨论制定割圆术的算法，教师注意指导，适当提示，引导学生出现算法中的递推关系。

教师将算法显现在屏幕上，又学生对应写出简单的程序。

割圆术是从圆内接六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐次递增的数值。在但是要付出艰辛的劳动，现在有计算机，我们只需利用刘徽的思想，寻找割圆术中的算法，即运算规律，计算机会迅速得到所求答案。

分析刘徽割圆术中的算法是难点所在，学生先阅读课本，有初步印象之后教师再与学生一起总结割圆术的步骤，在此基础上，又学生将所分析的步骤写为算法，引导学生体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。面临一个问题时，在分析、思考后获得了解决它的基本思路(解题策略)，将这种思路具体化、条理化，用适当的方式表达出来(画出程序框图，转化为程序语句)，这个过程就是算法设计过程，这是一个思维的条理化、逻辑化的过程。

归纳小结 1.求最大公约数的辗转相除法和更相减损法;

2.割圆术的算法 学生小结并相互补充，师生共同整理完善。 学生学后反思总结，可以提高学生自己获得知识的能力以及归纳概括能力。

课后作业  习题1—3  1，2

选作  习题1—3

巩固所学知识，是学有余力的同学的创造性得到进一步的发挥。

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