二、三者容斥的解法

接下来看三者容斥问题，三者容斥问题所给的已知条件不同，导致其公式不同。

首先来看第一种三者容斥问题：

例：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人?

A、69 B、65 C、57 D、46

解析：第一步：根据题意描述出题中所涉及的几个集合之间的容斥关系

第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。

A表示看甲片的人

B表示看乙片的人

C表示看丙片的人

X表示看过甲乙丙三种片子的人

Y表示三部电影都没看过的人

I表示总共接受调查的人数

O、P、Q表示看过两部片子的人

第三步：根据题意建立等量关系，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则。

I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y,O+P+Q=A+B+C-2X+Y-I=89+47+63-2×24+20-125=尾数是6

结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：

I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y

(I表示全集，A、B、C代表三个集合，O、P、Q表示两个只有两层的区域，X表示三层的区域，Y代表圆之外的部分)

第二种三者容斥问题，即容斥极值问题：

①(A∩B) =A+B-I(I表示全集)

例：小明、小刚两人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题。问两人都最对的题目至少有几题?

②(A∩B∩C) =A+B+C-2I

例：小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都最对的题目至少有几题?

③(A∩B∩C∩D) =A+B+C+D-3I

依此类推……

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