目   录

摘要(四号黑体不加粗)………………………………………………………………………Ⅰ

Abstract(四号Times New Roman体加粗)……………………………………………………Ⅰ

1引言(四号黑体不加粗)………………………………………………………………………1

1.1(小四号黑体不加粗)…………………………………………………………………………1

1.1.1(小四号仿宋体加粗)……………………………………………………………………1

2闭区间套定理在 的推广……………………………………………………………………2

3闭区间套定理在一般度量空间上的推广………………………………………………4

4闭区间套定理在 上的推广………………………………………………………………5

5闭区间套定理的应用举例…………………………………………………………………6

结束语……………………………………………………………………………………………8

参考文献…………………………………………………………………………………………8

致谢…………………………………………………………………………………………9

(注：①目录不加页码;

②中、英文摘要加页码，用罗马数字：Ⅰ，Ⅱ…;

③正文另行加页码，用阿拉伯数字：1，2，3，….)

摘  要(四号黑体不加粗)：在介绍了闭区间套定理的基础上，通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将闭区间套定理进行了推广，得到了严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理以及一般完备度量空间上的闭集套定理和常用完备度量空间上的闭集套定理，并给出了这些定理的证明.结合典型例题，分析、讨论了闭区间套定理及推广后的闭集套定理的实际应用，说明了闭区间套定理不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值.(小四号仿宋体不加粗,“摘要”字数须300字以上)

关键词(四号黑体不加粗)：闭区间套定理;严格开区间套定理;推广;应用(小四号仿宋体不加粗，关键词的个数：3—5个)

Abstract(四号Times New Roman体加粗): The theorem of nested closed interval was extended on the basis of its definition with synthetic application of analogy analysis and deductive reasoning, and got a series of theorems such as the theorem of strict open nested interval, the theorem of strict open and closed nested interval and the theorem of closed nested set on ordinary and popular metric space, which were also testified. The real application of the theorem of nested closed interval and the theorem of closed nested set after extension was discussed by analysis of some typical examples so as to demonstrate its important theoretical meaning and useful application. (小四号Times New Roman体不加粗)

Key words (四号Times New Roman体加粗): theorem of nested closed interval; theorem of strict open nested interval; extension; application (小四号Times New Roman体不加粗，每个关键词开头字母均不大写，结尾处无标点符号)

1 引言

(一级标题四号黑体不加粗，段前断后空0.5行.)

1.1 小四号黑体不加粗

(二级标题小四号黑体不加粗，段前断后不空行.)

1.1.1 小四号仿宋体加粗

(三级标题小四号仿宋体加粗，段前断后不空行.)

说明：(1)全文要求：行距：最小值22磅;页边距：上2.2cm、左2.5cm、右2.3cm、下1.8cm、页眉1.2cm、页脚1.5cm;页眉中，若是论文就删去“设计”二字，若是设计就删去“论文”二字.

(2)各级标题一律顶格，标题末尾不加标点符号.

(3)正文中所引用的文献应加尾注，以文献在文中出现的先后顺序依次编号为：[1]，[2]，…，某种文献中的内容被多次引用时以第一次出现时的序号为准，即一种文献只有一个序号，可以重复出现.添加尾注的格式如下：

爱因斯坦说：提出一个问题往往比解决一个问题更重要[1].

爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”[1].

爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要.” [1]

(4)正文中出现的图象与表格以编号(依出现的先后顺序编号)的方式分别加以命名.

图象：图1，图2，…

表格：表一，表二，…

(5)行文要符合文法格式，每段开头应空两个汉字的位置.若一行中只有符号表达式，则可以居中或居中偏左.

(6)正文中所有的标点符号，一律用全角;句号用“.”

闭区间套定理是实分析中的一个重要定理,它同聚点定、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和Cauchy收敛准则一样都反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，因此闭区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续[1]、闭区间的连续函数的介值性定理等.故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值.为了增大闭区间套定理的应用范围，从闭区间套定理的概念出发，综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理.

首先，将闭区间套定理在一维空间加以推广，形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理，增大了区间套定理的应用范围.紧接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式性和完备性，把闭区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭集套定理，从而把一维空间上的情景推广到了更一般化的完备度量空间，使得区间套定理的应用范围更为广泛，并且给出了常用度量空间 上的闭集套定理.最后结合一些实例分析说明闭区间套定理的应用，比如证明闭区间上的连续函数必有界、单调有界定理等，通过构造满足题意的闭区间列，再应用闭区间套定理证明存在满足题意的点.从实际例题中还可以看出闭区间套定理反映了实数的稠密性，所以闭区间套定理连同其在一般完备度量空间上推广后的闭集套定理在证明与实数理论相关命题时发挥着重要的作用.

2 闭区间套定理在 的推广

康托给分析建立了严格的集合论基础.而在对实数连续性的描述中，闭区间套定理是一个基本的定理.因此，在对该定理推广前有必要先回顾一下闭区间套定理的内容.

定义2.1　设 ( )是 中的闭区间列，如果满足：

(1)  ， ;

(2)  ;

则称 为 中的一个闭区间套，或简称区间套.

定理2.1[2](闭区间套定理)　若 是一个闭区间套，则存在惟一一点 ，使得

( )，

且

.

推论2.1[3]　若 ( )是区间套 确定的点，则对任意正数 ，存在自然数 ，当 时，总有

.

定义2.2　设 ( )是 中的开区间列，如果满足：

(1)  ， ;

(2)  ;

则称 为 中的一个严格开区间套.

定理2.2 (严格开区间套定理)　若 是 中的一个严格开区间套，则存在惟一一点 ，使得

， ，

且

.

证明 由定义2.2条件(1)， 是一个严格递增且有上界的数列.由单调有界定理， 有极限，不妨设

，

且

， .

同理严格递减有下界的数列 也有极限.由定义2.2条件(2)应有

，

且

， .

从而存在 ( ).

最后证明唯一性.假如另有 ，使得 ， ，那么有 ， .在上述不等式两边取极限，有

≤ .

即 .

故原命题成立.

定义2.3[4][5]　设 ( )是 中的半闭半开区间列，如果满足：

(1)  ≤ ≤ ≤ ≤  ， ;

(2)  ;

则称 为 中的一个严格半闭半开区间套.

注：类似可以定义严格半开半闭区间套 .

定理2.3 (严格半开半闭区间套定理)　如果 是 中的一个严格半开半闭区间套，则存在惟一一点 ，使得

， ，

且

.

仿定理2.2的证明即可.

2  闭区间套定理在一般度量空间上的推广

完备度量空间具有正定性、对称性、三角不等式性和完备性.具体到序列，指的是该序列除了满足一般度量空间的要求，还应在该空间上收敛.这样闭区间套定理就可以在一般度量空间上进行推广.

定义3.1　设 是一个非空集合，在 上定义一个双变量的实值函数 ，对任意的 ，有：

(1)(正定性) ≥0，并且 当且仅当 成立;

(2)(对称性) ;

(3)(三角不等式) ≤ ;

则称 为一个度量空间.

定义3.2　设 是度量空间 中的一个子集，对于 中的任意点列 ，若当

，

有 ，则称 为闭集.

定义3.3[6]　设 是一度量空间. 中的一个序列 ，若对任意的实数 ，存在整数 ，使得当 时，有 ，则称 为一个 序列.

定义3.4[7]　如果对度量空间 中 的每一个 序列都收敛，则称 是一个完备度量空间.

定理3.1[7]　设 是完备度量空间 上的闭集列，如果满足：

(1)  ( );

(2)   ;

则在 中存在唯一一点 ，使得

， .

证明　任意取 中的点列 ，当 时，有 ，所以

， ≤ ).

即对于任意给定的实数 ，存在整数 ，使得当 时，有 ，所以 是 序列.又因为 是闭集列，故 收敛于一点 ，且有

， .

现证唯一性.如果另有一点 ，使得 ， .则由定义3.1条件(3)，有

≤ ≤ ，

从而 .

故在 中存在唯一一点 ，使得 ， .

3  闭区间套定理在 上的推广

进一步还可以将闭区间套定理在常用度量空间─实数空间 上推广.为此，先给出一个有用的概念.

定义4.1　对于任意的 ， ，令

，

则称 为 空间上的距离.

下面验证对于如上定义的 ， 做成完备的度量空间.