证明　对于任意的 ， ， .

(1)  ，并且 =0当且仅当 ( )，即 .

(2)  .

(3)令 和 由 不等式可以得到

+2 + .

则

，

即

.

所以 满足度量的定义，又 是完备的[6]，故 是一个完备的度量空间.

于是根据前面的论述，可以得到实数空间 的闭集套定理：

定理4.1　设 是 上的闭集列，如果：

(1)  ， ;

(2)  ( );

则在 中存在唯一一点 ，使得 ， .

4  闭区间套定理的应用举例

闭区间套定理证明命题的基本思路是分划区间构成闭区间套，从而找到属于每一个区间的公共点.下面就举几个例子说明这一思路.

例1　证明：闭区间上连续函数必有界.

分析　这个命题如果从正面入手利用闭区间套定理证明比较困难，但是如果从反面着手，即假设 在 上无界，即对任意 0，存在 ，有 .则等分区间后至少有一个子区间上 无界，记为性质 .继续等分那个无界的区间，可得到如上的性质 .无限次重复上述步骤可构造一个满足题意的闭区间套，由闭区间套定理可以推出  ，这与假设矛盾，从而证明原命题成立.

证明 我们用反证法.设函数 在 上连续，假设  在闭区间 上无界.将区间二等分，即取 的中点 ，则 和 中至少有一个区间使得 在其上无界.(若两个都使 无界，则任取其中一个)，记为 ，且

.

再将 等分为两个区间，同样其中至少有一个子区间上 无界，记为 ，且

， .

无限次重复上述步骤，便得到一个闭区间列 ，其中每一个区间 有如下特性： ，且 及 在 上无界.

由区间套定理，存在一点 ( )，且

.

又 在 连续，则对任意的 ，存在 ，当 时，有

，

即

.

令 ，则

.

由推论1，取n充分大可使 ，上述不等式与 在闭区间 上无界矛盾.故 在闭区间 上有界.

以下内容省略……

结束语

通过对闭区间套定理的简单分析探究，掌握了该定理的结构形式，学习了运用类比的思维方法推广该定理的过程，分析讨论了闭区间套定理的实际应用.

首先将闭区间套定理在 推广，即在一维空间上将条件 减弱为 ，得到严格开区间套定理.紧接着，联想到一般完备度量空间的特性和闭区间套定理良好的构造性，从而推广得到闭集套定理.最后，应用闭区间套定理和推广后的闭集套定理证明了证明连续函数必有界、数列的单调有界定理、一个不动点问题以及 上的开区域套定理.

至于能否将闭区间套定理推广到空间以及能否在一般度量空间推广聚点定理、有限覆盖定理，并且运用推广得到的闭集套定理证明它们两个问题未做讨论.

参考文献

[1] 李宗铎，陈娓.再谈闭区间套定理的推广及其应用[J].长沙大学学报，2000，14(4)：4-5.

[2] 华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1991，第2版.

[3] 陈传璋.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1983，第2版.

[4] 毛一波.闭区间套定理的推广[J].渝西学院学报，2005，14(2)：26~27.

[5] 朱俊恭.关于闭区间套定理[J].遵义师范学院学报.2002，4(1)：72-73.

[6] 熊金城.点集拓扑讲义[M].北京：高等教育出版社，2003，第3版.

[7] 常进荣，王林.闭区间套定理的推广及应用[J].石家庄职业技术学院学报，2003，15(6)：16-17.

[8] 钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉：崇文书局，2003.

(注：参考文献各条目用五号宋体字，各条目的序号应正文中尾注的序号相一致)

致谢

(注：①“致谢”内容单独用一个版面;

②在“致谢”中主要叙述自己写作本文的经历、感受、收获等，表达对指导老师或帮助者的感谢之意.)

注：本模版中红色字体是说明部分，在具体操作时应将其删除.

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