该定理说明两个粒度P,Q组合产生的商空间U/IND(P∩Q)比组合粒度P∧Q构造的知识更细,因而对集合X的逼近更为准确。

定理5 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,则有

P∪QX=PX∩QX

P∪QX=X∪X

证明

a)?x∈?P∪QX,有[x]?P∪[x]?QX成立。由于[x]?P[x]??P∪[x]?Q,[x?Q][x]?P∪[x]?Q,有[x]?PX和[x]?QX成立,即

x∈PX且x∈QX。因此有x∈PX∩QX,即

P∪QXPX∩QX成立。

?x∈PX∩QX,根据定义有x∈PX且x∈QX,因此有[x]?PX和[x]?QX成立。由于[x]?PX和[x]?QX成立,有[x]?P∪[x]?QX成立。因此有x∈?P∪QX,即PX∩QX?P∪QX。

综合上述两点可得 ?P∪QX=PX∩QX。

b)?x∈?P∪QX,有([x]?P∪[x]?Q)∩X≠?,因此有[x]?P∩X≠?或

[x]?Q∩X≠?,即x∈X或x∈X

成立,x∈X∪X。因而可得?P∪QXX∪X成立。

?x∈X∪X,有x∈X或x∈X成立,即[x]?P∩X≠?或[x]?Q∩X≠?。由于[x]?P[x]?P∪[x]?Q,[x]?Q[x]?P∪[x]?Q,可得([x]?P∪[x]?Q)∩X≠?成立。因此有x∈?P∪QX,即X∪X?P∪QX。

根据上述两点可得P∪QX=X∪X。

证毕。

该定理表明组合粒P∪Q下的粗糙集模型可以由单一粒下的粗糙集模型构造出。

4 不同粒运算下的粗糙集模型的关系

既然可以在组合粒、粒逻辑运算等不同的粒运算下都可形式化相应的粗糙集,那么产生一个问题:不同粒运算下的粗糙集之间有什么关系?

定理6 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,则有

P∪QX?P∩QX

P∩QX?P∪QX

αP∪Q≤αP∩Q

证明

a)?x∈?P∪QX,有[x]?P∪[x]?QX,因此可得[x]?PX且[x]?QX。由此可以推断出[x]?P∩[x]?QX,即x∈?P∩QX。因此有P∪QX?P∩QX。

b)?x∈?P∩QX,根据定义有([x]?P∩[x]?Q)∩X≠?;又由于[x]?P∩[x]?Q[x]?P∪[x]?Q,有([x]?P∪[x]?Q)∩X≠?,可得?x∈?P∪QX,因此有?P∩QX?P∪QX。

c)由于

P∪QX?P∩QX,

有|?P∪QX|≤|?P∩QX|;由于

P∩QX?P∪QX,有|?P∩QX|≤|?P∪QX|。因此,?αP∪Q≤αP∩Q。

证毕。

定理7 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,则有

P∧QX?P∩QX

P∩QX?P∧QX

αP∧Q≤αP∩Q

证明

a)?x∈?P∧QX,有[x]?PX且[x]?QX成立,因此可得([x]?P∩[x]?Q)X成立。因此有P∨QX?P∩QX。

b)P∩QX=∪{x|([x]?P∩[x]?Q)∩X≠?},?P∧QX=?∪{x|([x]?P∩X≠?)∧([x]?Q∩X≠?)}。

?x∈?P∩QX,有([x]?P∩[x]?Q)∩X≠?。由于[x]?P∩[x]?Q[x]?P

且[x]?P∩[x]?Q[x]?Q,可得[x]?P∩X≠?且?

[x]?Q∩X≠?,有x∈?P∧QX。因此有P∩QX?P∧QX。

c)由于P∨QX?P∩QX,有|?P∨QX|≤|?P∩QX|;同时,由于P∩QX?P∧QX,有

|?P∩QX|≤|?P∧QX|。因此αP∧Q≤αP∩Q成立。

证毕。

定理8 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,则有

P∨QX?P∩QX

P∩QX?P∨QX

αP∨Q≤αP∩Q

证明

a)?x∈?P∨QX,有[x]?PX或[x]?QX成立。由于?[x]?P∩[x]?Q[x]?P且[x]?P∩[x]?Q[x]?Q,有[x]?P∩[x]?QX成立,则有x∈?P∩QX成立。因此有P∨QX?P∩QX。

b)?x∈?P∩QX,有([x]?P∩[x]?Q)∩X≠?。由于[x]?P∩[x]?Q[x]?P且[x]?P∩[x]?Q[x]?Q。有[x]?P∩X≠?和[x]?Q∩X≠?成立,则有x∈?P∨QX。因此有P∩QX?P∨QX。

c)由于P∨QX?P∩QX,有|?P∨QX|≤|?P∩QX|;由于P∩QX?P∨QX,有|?P∩QX|≤|?P∨QX|。因此αP∨Q≤αP∩Q。

证毕。

定理9 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,则有

P∧QX=?P∪QX

P∧QX?P∪QX

αP∪Q≤αP∧Q

证明

a)?x∈?P∪QX,根据定义可得([x]?P∪[x]?Q)X成立,

根据集合之间的关系可得

[x]?PX和[x]?QX成立。因此有x∈P∧QX成立,即

P∪QX?P∧QX。

?x∈?P∧QX,有([x]?PX和[x]?QX成立,因此有([x]?P∪[x]?Q)X,即x∈?P∪QX,因此P∧QX?P∪QX。

综合这两种情况有P∧QX=?P∪QX。

b)?x∈?P∧QX,有[x]?P∩X≠?且

[x]?Q∩X≠?成立。由于[x]?P[x]?P∪[x]?Q,必然有

([x]?P∪[x]?P)∩X≠?,即x∈?P∪QX 。因此有P∧QX?P∪QX成立。

c)由于P∧QX=?P∪QX,有|?P∧QX|=|?P∪QX|;由于P∧QX?P∪QX,有|?P∧QX|≤|?P∪QX|。因此可得αP∪Q≤αP∧Q。

证毕。

定理10 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,则有

P∪QX?P∨QX

P∨QX?P∪QX

αP∨Q≤αP∪Q

证明

a)?x∈?P∪QX,有[x]?P∪[x]?QX成立;

由于[x]?P[x]?P∪[x]?Q,可得[x]?PX,即x∈?P∨QX。

因此有P∪QX?P∨QX。

b)?x∈?P∨QX,有[x]?P∩X≠?或

[x]?Q∩X≠?成立。由于[x]?P[x]?P∪[x]?Q,

[x]?Q[x]?P∪[x]?Q,上述两种情况中的任何一种均可推导出

([x]?P∪[x]?Q)∩X≠?。因此有P∨QX?P∪QX。

c)由于P∪QX?P∨QX,有|?P∪QX|≤|?P∨QX|;由于P∨QX?P∪QX,有

|?P∨QX||?P∪QX|。因此可得αP∨Q≤αP∪Q。

证毕。

通过上述各定理可以得到组合粒下的粗糙集模型与粒逻辑运算下的粗糙集模型之间的关系,并且发现在相关粒下的知识粗糙度具有如下关系:

αP∨Q≤αP∪Q≤αP∧Q≤αP∩Q

基于此,从另一个角度给出知识粗细的形式化定义。

定义9 给定信息系统(U,A),P,Q是两个信息粒构造的商空间,称P?Q,如果对任意集合XU,均有α?Q≤α?P成立。

实际上,如果P?Q,则由粒集合P提供的知识比由Q提供的知识更细。基于上述相关定理,可以得到下面的结论。

定理11 〈{P∨Q,P∪Q,P∧Q,P∩Q},?〉是一个链。

证明略。

5 结束语

本文讨论了单粒运算与多粒运算下粗糙集之间的关系以及不同的多粒运算下粗糙集之间的关系这两个问题,对于进一步研究动态粒的结构以及基于动态粒的知识获取奠定了良好的基础。

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[9]傅彦,顾小丰,刘启和,等.离散数学[M].北京:高等教育出版社,2008.

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