若知L n ,则可求出圆内接正2 n 边形的面积:

刘徽认为,“觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表”:

S2 n  S0  S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) ,

“若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. ”

limn →∞S2 n  S0  limn →∞( S n + 2 ( S2 n - S n ) ) = limn →∞( S2 n + ( S2 n - S n )).

即在n 趋于无穷大时,圆内接正多边形的面积就是圆面积.

2.2 　折中的无限分割方法

关于量可分的两种假定,在中国古代对应着两个命题.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的“尺棰命题”中隐含着一个量无限可分(潜无限) 的假定. 而“非半弗斫,说在端”的“非半弗斫”命题则认为一个量是有非常多的极微小的不可分部分组成的.

与西方的数学家不同,中国古代的数学家从未受到无限问题的困扰. 刘徽在遇到无理数时采用“开方不尽求微数……”. 显然,尽管刘徽对“开方不尽”的理解比前人深刻,但中国古代数学重视实际的传统的确是限制了对 理论 问题作更深层次的探讨. 因而,这也阻碍了无理数的发现. 刘徽认为只须得到无限接近的一个值就可以;因此他只关心重要 计算 方法,而根本不用考虑这个无限问题本身的性质. 对于割圆术,刘徽显然受墨家思想的 影响 很深,而且刘徽对割圆术的处理也比较符合中国古代数学讲求直观的传统.

另外,从墨家的传统来看刘徽的处理也较好理解,实际上刘徽在无限的运用上,其思想和墨、道两家一脉相承[5 ] . 刘徽将道、墨两家的无限思想辩证地统一起来, 即无须由于受到无限的困扰. 刘徽道“……割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣……”. 同样,刘徽在“阳马术”(四棱锥体积) 中说道:“半之弥少,其余弥细,至细曰微,微则无形,由是言之,安取余哉?”[6 ] 这里刘徽对待无限的态度是作一个可操作的程序“割之”(或阳马术中的“半之”) 的动作. 同时这个动作又可无限地做下去,那么在极限过程下正多边形的周长即为圆的周长. 这种辩证的极限思想使有关“量的可分性”假定都得到了解释,从某种意义上来说刘徽的极限思想与 现代 的微积分思想一致.

编辑老师为大家整理了刘徽的割圆术与微积分，希望对大家有所帮助。

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