随后，Ng和Perron(1995)明确解答了哪些滞后长度选择方法满足这些上界与下界条件，以及运用它们确定滞后长度如何影响ADF检验统计量极限分布的问题。首先，该文讨论了检验式中滞后长度k不满足Said和Dickey(1984)或Lewis和Reinsel(1985)下界条件对ADF检验统计量极限分布的影响。他们认为这时仍渐近服从标准DF分布，同时滞后差分项的参数估计量仍具有一致性，但其向真值收敛的速度要小于 (T为样本容量，下同)。接着，Ng和Perron(1995)将滞后长度的选择准则与上述极限分布条件相比较，证明了在ADF检验中，利用各信息准则确定的滞后长度时不满足下界条件，但统计量仍服从标准DF分布。而当运用GSC时，如果我们确定的滞后长度最大值满足上界条件和Lewis和Reinsel(1985)下界条件，则滞后差分项的参数估计量具有一致性和渐近正态性，可以用t统计量、F统计量和Wald统计量检验其显着性。最后通过模拟重点讨论了当数据生成过程为ARIMA(0,1,1)时各方法确定的滞后长度以及对ADF检验功效和实际检验水平的影响。

类似地，Hall(1994)还从一个纯自相关过程入手，给出了当真实数据生成过程是一个ARIMA(p,1,0)过程时，ADF统计量服从DF分布应满足的假设条件。并讨论了不同滞后长度选择准则对ADF统计量极限分布的影响。他认为当运用AIC、SIC、HQIC以及GSC确定滞后长度时，满足上述条件，因此ADF统计量仍服从标准DF分布，而运用SGC时不能满足上述条件，从而ADF统计量的极限分布发生变化，不再服从标准DF分布。最后对于不同的ARIMA(p,1,0)过程，模拟了基于各种准则的ADF检验功效与实际检验水平。

此外，随着研究的不断深入，学者们又从一些新的角度对滞后长度选择的问题进行了探讨。比如Ng和Perron(2001)将Elliott、Rothenberg、和Stock(1996)以及Dufour和King(1991)提出的局部GLS退势法与Perron和Ng(1996)提出的修正的单位根检验统计量相结合，提出了一系列MGLS统计量来检验单位根。在这种检验中，他们首度运用了一系列修正的信息准则(Modified Information Criteria，以下简写为MIC)来确定滞后长度，并给出了其局部渐近性质。MIC与一般信息准则的本质区别就在于它考虑到检验式中一阶滞后项参数估计量的偏差与滞后长度是高度相关的，进而通过加入一个包含一阶滞后项参数估计量的修正项对信息准则拟和不足的问题进行了一定的校正。Ng和Perron(2005)又重点探讨了在运用各种信息准则时，可用观测值个数(即调整的样本容量)、计算均方误差时的自由度、以及计算惩罚因子(penalty factor)时使用的观测值个数对滞后长度选择的影响。结果表明在有限样本下AIC与SIC选择的滞后长度对上述三个因素非常敏感。

综上所述，已有的研究主要集中在对ARIMA(p,1,0)和ARIMA(0,1,1) 过程进行单位根检验时，各方法确定的滞后长度以及相应的单位根检验的功效与实际水平上。而对ARIMA(0,1,q)即含有单位根的高阶移动平均过程的研究则比较少。另外，也鲜见MIC与其他方法比较的相关研究。针对这些问题，本文对Hall(1994)，Ng和Perron(1995, 2001)的方法和结论进行扩展，在接下来的部分中用蒙特卡罗模拟的方法在有限样本下研究一个更一般的ARIMA(0,1,q)过程，对模拟结果中不同滞后期选择方法尤其是MIC的优劣进行比较，以期找到一种能应用在更一般的数据生成过程中，并使ADF检验推断更真实可靠的滞后长度选择方法。最后一部分是对全文的总结，并提出了一些滞后项选择及ADF检验中需要注意的问题。

编辑老师为大家整理了ADF检验中滞后长度的选择，希望对大家有所帮助。

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