， ;

令 , 。如果 ，转6);否则，重复2)的判断。

6)对 ， ，如果 ，则 。取 的前 列，这样，我们就得到了一个 维右乘初始输入矩阵。

这里需要说明的是，运用上面的方法求得的右乘初始输入矩阵不仅与求解雅可比矩阵的列序有关，而且与过程4)中的合并顺序也有关系。至于如何最优求解右乘初始输入矩阵，目前还很难讨论清楚。但是，大量模拟试验结果表明，运用上面自然次序求得的右乘初始输入矩阵宽度 已经非常接近于其下界值 。

反向积分 当 和 时，通常采用伴随模式来计算雅可比矩阵。根据雅可比矩阵的稀疏结构，适当选择左乘初始输入矩阵，可以获得接近 的计算时间代价。其中左乘初始输入矩阵的求解过程完全可以按照上面的方法进行，但是在处理前必须先将雅可比矩阵转置，最后还需将得到的初始输入矩阵转置才能最终得到左乘初始输入矩阵。同时，其行宽度 也已经非常接近于其下界值 。

混合积分 如果将切线性模式和伴随模式相结合，往往可以避免梯度向量运算中的诸多冗余计算。例如，ADJIFOR系统在求解雅可比矩阵时，在语句级微分实现中首先用伴随方法求得所有偏导数，然后做梯度向量积分;其计算时间代价与 和模式的语句数目有关，而其存储代价为 。具体讨论可参考文献[7]。

5.结论

切线性模式在无截断误差意义上计算函数的方向导数、梯度或雅可比矩阵，以及在模式的可预测性及参数敏感性分析、伴随模式构造等相关问题中有着广泛应用。DFT系统主要用于求解FORTRAN 77语言编写的切线性模式，具有很强的全局数据相关分析能力。此外，DFT系统还具有其它几个重要特色，如结构化的微分实现、自动生成微分测试程序以及基于语句级的微分代码优化。本文简单给出了DFT系统在求解数值和符号导数和微分、稀疏雅可比矩阵中的应用。为评价一类自动微分系统，本文初步提出了统计准确率的概念。

参考文献

[1] Andreas Griewank. On Automatic Differentiation. In M. Iri and K. Tanabe, editors, Mathematical Programming:

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[2] Le Dimet, F. X and O. Talagrand, Variational algorithms for analysis and assimilation of meteorological

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[4 ] Christian Bischof, Gordon Pusch, and Ralf Knoesel. "Sensitivity Analysis of the MM5 Weather Model using

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[6] Giering R. et al. Recipes for Adjoint Code Construction. ACM Trans. On Math. Software. 1998，24(4)：

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Derivatives--Fast" in Control Problems in Industry, edited by I. Lasiecka and B. Morton, pages 1-16,Birkhauser,

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