1.4 极限思想是近似与精确的对立统一。

近似与精确是对立统一的关系， 在一定条件下可相互转化， 这种转化是理解数学运算的重要方法[2]。

在极限抽象的概念中，引入实例如“圆内接正多边形面积”，其内结多边形面积是该圆面积的近似值，当多边形的边数无限增大时， 内结多变形面积无限接近圆面积，取极限后就可得到圆面积的精确值，这就是借助极限法，从近似认识精确。又如在极限式lim n→∞ xn=a 中，当n无限增大时，数列的项x1，x2，…，xn反映变量xn无限的变化过程，而a 反映了变量xn无限变化的结果，每个xn都是a 的近似值，并且当n 越大，精确度越高;当n 趋于无穷时，近似值xn转化为精确值a。虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念，但是通过极限法，建立两者之间的联系，在一定条件下可以相互转化。因此近似与精确既是对立又是统一的。

1.5 极限思想是量变与质变的对立统一。

在唯物辨证法中， 任何事物都具有质和量两个方面，都是质和量的统一体。质是指事物成为它自身并区别于其他事物的内在规定性，量是指事物存在的规模、发展程度和速度， 以及它的构成成分在空间上的排列组合等可以用数量来表示的规定性[3]。量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系。量变是质变的准备， 量的变化达到一定的度， 就不可避免地引起质变，只有质的变化才是事物根本性质的变化，量变质变规律在数学研究工作中起重要作用[4]。对任何一个单位圆的内接正多边形，事物的质是圆的内接多边形，量是内接多边形的边数，当边数无限增加，得到的仍是圆内接正多边形，是量变，不是质变，量变体现事物发展的连续性， 在事物量变过程中， 保持事物本身质的稳定性。但当边数增加的无限过程中，由于量的动态变化，多边形越来越接近圆，为质变创造条件，多边形面积就变转化为圆面积，促进量质转化，达到矛盾统一。

1.6 极限思想是否定与肯定的对立统一。

任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的对立统一。单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面， 内接正多边形是事物对自身的肯定，其中也包含着否定，这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形边数的改变而体现的。随着圆内接正多边形的边数逐渐增加至无穷时，内接多边形的面积转化为该单位圆的面积， 促使该事物转化为自己的对立面，由肯定达到自身的否定，这体现了否定与肯定的对立; 圆的内接正多边形和圆虽是两个对立的事物，但是二者之间有紧密的联系，圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积， 而单位圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的， 从而建立了这二者的联系，体现了否定与肯定的统一。

2 极限思想与辨证哲学的研究意义。

在唯物辩证法中，客观事物之间相互影响、相互制约和相互作用的关系无处不在，即使是性质完全不同、矛盾对立的两个事物， 也都有其相互联系的一面。所以，在微积分的学习过程中，不容忽视唯物辩证法普遍联系思想的渗透。辩证思维在数学思维中的渗透和理解，其实质就是按照唯物辩证法的原则，在联系和发展中把握认识对象，在对立统一中认识事物。通过上述分析，极限思想贯穿唯物辨证哲学的范畴，它揭示了变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变的对立统一[4]。我们在理解极限思想时必须把单一、封闭、静态的形式逻辑思维提高到多维、开放、动静态相结合的辩证逻辑思维。数学思维与哲学思想的融合是学好数学的高层次要求， 领悟数学思维中的哲学思想和在哲学思想的指导下进行数学思维， 是提高学生数学素养、理解数学知识，培养学生数学能力的重要方法和手段[5]。

极限思想的辩证思考为朋友们整理到此，希望可以帮到需要的朋友们！

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