即任一轮循环反应周期中，消耗O2气和NO2气的体积之比为1∶4，而反应起始状态时，有：

显然原混合气体中O2过量，反应呈无限循环，且式(1)和式(2)均为无穷递减几何级数。故有：

消耗O2气的总量为：

消耗NO2气的总量为：

则剩余气体(O2)占试管容积的百分比为：

答：充分反应后试管中剩余O2气，且占试管容积的16.7%。

此外，上述解法中消耗O2气(或NO2)的总量也可用下法计算，即先求其前n项和，再求其极限。

级数式(1)的前n项和为：

由于式(1)为无穷递减级数，且级数具有收敛性(q<1)，故：

显然其计算结果与上述解法一致。

三、算术·几何级数的应用

例题 比色分析中配制得硫酸铜标准系列溶液的浓度(单位mol/L)依次为： 0.3，0.5，0.7，0.9，……。若将其依次按1∶2∶4∶8∶……∶2n-1的体积比使前六种标准液混和，求混和溶液的浓度。

解：令溶液的单位体积为V，则混和前各标准液的体积分别为：

V，2V，4V，8V，…，2n-1V，…

混和前各标准液中溶质的物质的量依次为：

0.3×V，0.5×2V，0.7×4V，0.9×8V，…，[0.3+(n-1)×0.2]×2n-1V，…，

据溶液混和的浓度求解法则：

有：

因V为一常数，故得：

显然，上式左边为“a=0.3，d=0.2，q=2”的“算术·几何级数”;而式右边为“a1=1，q=2”的“几何级数”。

据“算术·几何级数”的前n项和公式，有：

据“几何级数”的前n项和公式，有：

即有： 63C混=70.5

解得： C混=1.12 (mol/L)

答：混和溶液的浓度为1.12 mol/L。

综上级数在化学解题中的应用实例可见，数学方法的灵活运用为人们开辟了诸多的解题途径，虽然有些解法思路可能会使解法途径变得较复杂些，但作为一种数学方法，可培养学生应用数学工具分析、解决化学问题的能力，扩充解题思路和开发智力无疑有其益处。

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