a,即有a=n+n+…+nm个,这个a就叫做n乘以m的积,记作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n称为被乘数,m称为乘数.求两个数积的运算叫做乘法.

对于数0,1,补充义定:n和0的积是0,n和1的积是n,即n.0=0,n.1=1.

在上述定义里,加法、乘法的交换律、结合律,乘法对于加法的分配律仍然成立.

关于减法运算的定义,除了去掉“非空”二字外,集合B可以是A本身,即

定义4设有有限集合A和B,BA,若记A-B=C,且A,B,C的基数分别记作a,b,c,那么c叫做a,b的差,记作

a-b=c.

a叫做被减数,b叫做减数.求两个数差的运算叫做减法.

除法是乘法的逆运算,在原定义中要限定“除数非零”即可.

定义5设a,b(b≠0)是两个自然数,如果存在一个自然数c,使得bc=a,那么c叫做a除以b所得的商,记作

ab=c,或a÷b=c.

a称为被除数,b称为除数.求两个数商的运算叫做除法.

4自然数的有关性质

(1)自然数的有序性决定了自然数可以比较大小,即

定义6如果两个有限集合A,B的基数分别为a,b,那么

1°当AA′,A′～B时,a>b;

2°当B′B,A～B′时,a

3°当A～B时,a=b.

自然数有反身律:a=a;对称律:若a=b,则b=a;传递律:若a≥b,b≥c,则a≥c.

自然数从小到大的排序为

0,1,2,3,….

(2)自然数的单调性反映了不等量关系中的运算性质,扩充后的自然数其单调性有了局部性改变,即

若a≥b,则

1°a+c≥b+c;

2°当c>0时,ac≥bc,

当c=0时,ac=bc.

对于与自然数有关的数学论证与原理,应随自然数扩充后作相应调整.如数学归纳法证明的步骤应是

1°验证n=0时,命题成立;

2°假设n=k-1时成立,则n=k时命题成立.

自然数的其他理论[2],本文不再赘述.(来源：中国论文下载中心)

参考文献

1麻绍芯.算术原理[M].武汉:湖北科学技术出版社,1993.

2胡炳生.关于扩充自然数集的几个理论问题[J].数学通报,1998,(11):1～3

 

 

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