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在整数除法中余数可以为零

一、 困扰教师的问题

不少小学数学教师问过我这样一个问题:“在整数除法中,余数可不可以为0?”这个问题早有定论,于是我不假思索地肯定作答:“余数当然可以为0。”不料对于这一答案,他们并不同意,其理由如下:

第一,人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》,从一年级上册到六年级下册,里面均无“余数可以为0”的表述。

第二,《现代汉语词典》(修订本)(商务印书馆, 1996 年 )第1553页对“余数”一词的解释为:“整数除法中,被除数未被除数整除所剩的大于0而小于除数的部分。如27÷6=4…3。即不完全商是4,余数是3。”这就表明余数不能为0。

在数学课本中找不到“余数可以为0” 的论述,而在词典中却找到了“余数不能为0”的证据,难怪让他们对我的答案持怀疑态度。面对这样一个困扰小学数学界同仁的问题,该怎样来正本清源呢?

我仔细地查阅了人教版全套小学数学课本,确实没找到“余数可以为0”的表述,只在三年级下册第26页练习六第3题的指令性语言中,发现了三处“余数为0”的表述。我知道,这样的表述既不是出现在正文中,又没有说明道理,不足以成为论据。课本中没有,看来只有通过合理思辨和相关考证来达到为小学同仁解惑之目的了。

二、解惑所需的思辨

1.要用对立统一的观点看待0

众所周知,当盘子中连一个桃子都没有时,我们就说这盘中桃子的个数为0。从这个意义上讲,0是空集的基数,0表示“没有”。然而,0又是一个确定的数,它是自然数列的起始数,它既不是正数,也不是负数,它是唯一的中性数。从这个意义上讲,0又表示“有”。这一点不难理解。比方说,小明在黑板上写了一个“0”,你总不能说他什么都没写吧!再比方说,某地某时的气温为0摄氏度,你总不能说该地该时没有温度吧!所以,我们应该用对立统一的辩证观点看待0,懂得0既可表示“无”,又可表示“有”。用这一观点考察整数除法,我们不难发现,当15÷5时,得到整数商3,既可以说“没有余数”,也可以说“余数为0”,这两种说法是完全等价的,因而都是正确的。

2.要用发展变化的观点看待概念间的关系

人们对数学概念的认识并非一成不变的,而是处于不断发展变化之中的。例如,“整数”与“分数”最初是两个并列的概念,它们相互排斥,泾渭分明,不容混淆。然而,出于数学自身发展的需要,后来,人们又把整数看做是分母为1,分子为该整数的假分数,如3=3/1,65=65/1。这样一来,“分数”的外延就扩大了,“整数”与“分数”的关系也由并列关系转变为包含关系。“整数”成了“分数”的特例,整数集成了分数集的真子集。原先,整数集与分数集之并集才是有理数集,后来,这种广义的分数集实际上就是有理数集了。

与此类似,人们研究整数除法时,先研究被除数能被除数整除的情形,如15÷5,正好得到整数商3,记作15÷5=3。后来才研究有余数的情形,如16÷5,得到不完全商3后还余1,记作16÷5=3…1。起初,“整除”与“有余数的除法”也是并列而互斥的概念,前者没有余数,后者有余数,互不相容。后来,为了研究的方便,人们干脆把“有余数的除法”的外延扩大,让它把原先的两个概念一并囊括。因为这很容易办到:只要把“整除”时的“没有余数”看做“余数为0”即可。这样一来,“整除”就成了“有余数的除法”的特例,“整除”与“有余数的除法”也就顺理成章地由对立变成统一,二者统一于广义的“有余数的除法”之中。

3.“余数为0”的说法有据可查

事实上,“余数为0”的提法早已被数学界认可。

⑴《小学数学教师手册》(人民教育出版社,1982年)第49页有如下表述:

“判定一个整数能不能被另一个正整数整除,只需进行除法运算即可。如果所得的余数为0,就是整除的情况;如果所得的余数不为0,就是不能整除的情况。例如:

①a=91,b=13。a÷b=91÷13,商7余0。这表明91=13×7。即91能被13整除。

②a=97,b=19。97÷19商5余2。所以97不能被19整除。

一般地,对于整数a和正整数b,如果进行除法a÷b得商q,余数为r,就有a=bq+r。其中0≤r

⑵《数学手册》(人民教育出版社,1979年)第1057页“数论”的“辗转相除法”中,有如下表述:

“每一个整数a可以唯一地通过正整数b表示为a=bq+r, 0≤r

上述不等式0≤r

值得注意的是,“辗转相除法”又称“欧几里得算法”,我国宋代数学家秦九韶早在公元1247年即在其著作《数书九章》中,对这一算法进行过卓有成效的研究。

⑶《数学手册》(人民教育出版社,1979年)第1066页“数论”的“同余式”中,有如下表述:“设以m为模,则可将全体整数分为m个类,同类的数都同余,不同类的数都不同余,称这样的类为同余类,每类中各取一数为代表,例如:0,1,2,…,m-1构成一个完全剩余类。”

由此易知,在以0为代表的这个剩余类中,每个数除以m,所得的余数均为0。也就是说,此类数中的每一个都是m的倍数。

事实上,我们不仅从剩余类的理论中,看到了对“余数为0”的认可,还可以运用剩余类的理论和“抽屉原理”来解答一类有关整除性的题目。载有这类题目并给出解答的数学书籍比比皆是,下面举一例。

求证:在任意四个整数中,必有这样的两个数,它们的差能被3整除。