类型Ⅳ设ƒ(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求：g(t)并画出 y=g(t)的图像

解：ƒ(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1时取最小值-2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=-2

当t>1时，g(t)=ƒ(t)=t2-2t-1

当t<0时，g(t)=ƒ(t+1)=t2-2

t2-2, (t<0)

g(t)=  -2，(0≤t≤1)

t2-2t-1, (t>1)

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

如：y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1)，求该函数的值域。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：

类型Ⅴ：设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)-x=0的两个根x1，x2满足0

(Ⅰ)当X∈(0,x1)时，证明X<ƒ(x)

(Ⅱ)设函数ƒ(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0< x2。

解题思路：

本题要证明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)

(Ⅰ)先证明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因为x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax2+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x-x1)(x-x2)

因为0

根据韦达定理,有  x1x2=ca    ∵ 0

即x<ƒ(x)

(Ⅱ) ∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a(x+-b/2a)2+(c-),(a>0)

函数ƒ(x)的图像的对称轴为直线x=- b/2a,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-b/2a，因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-b-1a，∵x2-1a<0，

∴x0=-b2a=12(x1+x2-1a)

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。

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