1.解：见下图

过桥问题：

可否一次通过所有的桥

(每座桥只能走一次)

一笔画问题：

可否一笔画成图形(笔不能抬起，不能重复)

2.解：见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，因为下右图有4个奇点.

3.解：由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数，而通过两岸的任一个岸的桥的数目都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一条路，使人们将所有的桥都只走一次而到达另外一个岸.画出图来就能一目了然了.见下图.

因为图中共有两个奇点，且奇点均为岸，是一笔画.

所以人们可以一次通过所有的桥，每座桥只走一次，由一岸到另一岸.

4.解：从入口进入售货厅后，也就是从1号房间开始不能一次不重复地走遍各个门，因为虽然整个图形(见下图)只有2个奇点，但点1是偶点.

当出口在4号房间时，如再在1号和3号房间之间开一个门，则从1号房间开始后就能一次不重复地走遍各个门.因为点1变成了奇点，点4仍为奇点，而整个图形只有2个奇点，因此可以从1号房间进，4号房间出.见下图(进入售货厅后先从1号房间进入3号房间即可).