在学习几何知识时，同学们已经学过如下两个结论：

(1)连结两点的所有线中，直线段是最短的;

(2)直线外的一个定点与直线上的各点的连线以垂线为最短.

利用这两个结论可以解决许多实际生活中求最短路线的问题.

例1 甲、乙两村之间隔一条河，如图13—1.现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处?

分析：设甲、乙两村分别用点a、b表示.要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短.即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长(相当于河的宽度)，再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题.直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢?由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了.

所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到c点，如图13—2，找出c到b的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题.

解：如图13—2.过a点作河岸的垂线，在垂线上截取ac的长等于河宽.连bc交与乙村的河岸于f点，作ef垂直于河的另一岸于e点，则ef为架桥的位置，也就是ae+ef+fb是两村的最短路线.

例2 如图13—3，a、b两个学校都在公路的同侧.想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里?

分析：车站建在哪里，使得a到车站与b到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了.采用轴对称(直线对称)作法.

解：作点b关于公路(将公路看作是一条直线)的对称点b′，如图13—4，即过b点作公路(直线)的垂线交直线于o，并延长bo到b′，使bo=ob′.连结ab′交直线于点e，连be，则车站应建在e处，并且折线aeb为最短.

为什么这条折线是最短的呢?分两步说明：

(1)因为b与b′关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有be=b′e，所以

ab′=ae+eb′=ae+eb

(2)设e′是直线上不同于e的任意一点，如图13—5，连结ae′、e′b、e′b′，可得

ae′+e′b=ae′+e′b′>ab′(两点之间线段最短)