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2015-09-30
发现数学定理的秘诀
数学家是怎样发现数学定理呢?他们是否有一个秘诀?如果能知道那是多好啊!
是的，这里有一个秘诀，下面的一个真实故事就会告诉你秘诀是在哪里?
在中国湖南省的一个农村生产队，在1964年以前禾苗年年受到虫害，粮食老是不够，亩产最多是五百多斤。
那里的虫害最厉害的是一种叫蚁螟的虫，它们能使稻枯心，农民最初看到禾苗出现白线子才喷药。可是农药喷了，虫却没治好。有一个农民看到这种情形，他决定要想法子根治这种虫害，可是有人却认为他文化低，不可能做出这样的事来?但是他不理会这些意见。当第一代的螟蛾生出后，他就守在田边观看，看蛾子如何产卵，发现卵块的地方就插标记，记下产卵日期，看它什么时候孵化。不管刮风下雨，日夜不离田边，终于揭开了秘密。掌握到了这种虫的生长规律，于是就有法子消灭它。以后也控制了其它虫害，粮食亩产到目前增至一千二百多斤。
许多人承认在科学上的发现和发明：如物理上的落体定律，化学上的合成胰岛素，链霉素，在生物上的发现遗传规律，在医学上用针灸医治聋哑病症者，都是需要依靠实验和观察。我说数学上的发现也是靠观察得来的，读者不是会觉得奇怪吗?
数学是研究一些数、形、集合、关系和运算的性质和变化的规律，人们是怎样知道这些性质和规律呢?
是不是像一些宣传宗教的小册子讲，连那大名鼎鼎的17世纪的英国科学家牛顿，也是因为他很虔诚，为上帝所宠爱，让一个苹果在他头上掉下，启发他发现物理上的《万有引力定律》?人的活动是上帝在操纵吗?
让我们看一看 18世纪的一个大数学家欧拉(Leonard Euler1707—1783)的一些意见吧!
欧拉在他的一篇：《纯数学的观察问题》的文章里写道：“许多我们知道的整数的性质是靠观察得来，这发现早已被它的严格证明所证实。还有很多整数的性质我们是很熟悉的，可是我们还不能证明;只有观察引导我们对它们的认识。因此我们看到在数论——它还不是一个完整的理论中，我们可以寄厚望于观察：它能连续引导我们新的性质，我们较后尝试证明。那类靠观察而取得的知识还没有被证明，必需小心的和真理区别，像我们通常所说它是靠归纳所得的。我们看过单纯的归纳会引起错误。因此我们要非常小心，不要把那一类我们靠观察而由归纳得来的整数的性质当为正确无误。事实上，我们要利用这发现为机会，去研究它的性质，去证明它或反证它，这两方面我们都会学到有用的东西。”(见《欧拉全集》第二册)
欧拉是瑞士人，一生大部份时间是在俄国和德国的科学院度过，对这两个国家特别是俄国的数学发展有很大的贡献。他是最多产的数学家，他在生之日已出版和发表五百多本书和文章，死后还留下二百多篇文章未发表，以及一大堆不太完整的手稿。
他的工作涉及的范围很广，单是数学就包含了当时的数学的差不多所有的分枝，在物理、天文、水利等等一些较有实用的科学他也作出过贡献。
从1909年开始瑞士的自然科学会，准备出版他的全集，他的全集到现在还没有出完，他留在列宁格勒(现改名为圣彼得堡)的一大堆手稿，因为内容太多，到现在还要花许多时间和气力去整理。
为什么欧拉能作出这样多的发现呢?在那篇《纯数学的观察问题》的文章里，他已告诉了你一个秘诀，就是：“依靠观察得来的。”事实上欧拉也是一个善于观察的数学家。
发现的工具是归纳和类比
18世纪的法国有一个农民家庭出身的数学家和天文学家——拉普拉斯(Pierre—Simon de laplace 1749—1827)。拉普拉斯是现代概率论的奠基者之一。学物理的人对他很熟。
他有一个很好的品德，就是对于年青一代的数学家当作自己的孩子，帮助他们和鼓励他们。有一些人的发现事实上是他早在几十年前就得到了，但他也是把这发现的荣誉让给年青人而不是自己占有、或者像一些所谓“专家”对这些新生的力量，在妒忌之余，加以阻挠打击。
拉普拉斯在关于概率论的哲学问题的一篇文章里曾经指出：“在数学这门科学里，我们发现真理的主要工具是归纳和类比(induction and analogy)。”这里他指出了发现数学定理的一个方法。
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