(2)∵E、F分别为边AB、AC的中点，

∴EF∥BC，EF= BC.

∵BC=12，

∴EF=6.

以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②.

∵AD⊥BC，AD=6，

∴EF与BC之间的距离为3.

∴OQ=3

∴OQ=OE=3.

∴⊙O与BC相切，切点为Q.

∵EF为⊙O的直径，

∴∠EQF=90°.

过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②.

∵EG⊥BC，OQ⊥BC，

∴EG∥OQ.

∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，

∴四边形OEGQ是正方形.

∴GQ=EO=3，EG=OQ=3.

∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，

∴BG= .

∴BQ=GQ+BG=3+ .

∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+ .

(3)在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°.

理由如下：

以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，

作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K.

设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，

过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③.

则⊙O是△ABG的外接圆，

∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，

∴AP=PB= AB.

∵AB=270，

∴AP=135.

∵ED=285，

∴OH=285﹣135=150.

∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，

∴∠BAK=∠GAK=30°.

∴OP=AP•tan30°

=135×

=45 .

∴OA=2OP=90 .

∴OH

∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③.

∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90 ..

∵OH⊥CD，OH=150，OM=90 ，

∴HM= = =30 .

∵AE=400，OP=45 ，

∴DH=400﹣45 .

若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400﹣45 +30 .

∵400﹣45 +30 >340，

∴DM>CD.

∴点M不在线段CD上，应舍去.

若点M在点H的右边，则DM=DH﹣HM=400﹣45 ﹣30 .

∵400﹣45 ﹣30 <340，

∴DM

∴点M在线段CD上.

综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，

此时DM的长为(400﹣45 ﹣30 )米.

点评： 本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强.而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键.

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