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2015年中考数学一轮复习试题5

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2015-04-27

∴△ABE∽△DEC,

∴ ,

∴ ;

(3)作EF⊥AB于F,EG⊥AD于G,EH⊥CD于H,

∴∠BFE=∠CHE=90°.

∵AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,

∴EF=EG=EH,

在Rt△EFB和Rt△EHC中

∴Rt△EFB≌Rt△EHC(HL),

∴∠3=∠4.

∵BE=CE,

∴∠1=∠2.

∴∠1+∠3=∠2+∠4

即∠ABC=∠DCB,

∵ABCD为AD截某三角形所得,且AD不平行BC,

∴ABCD是“准等腰梯形”.

当点E不在四边形ABCD的内部时,有两种情况:

如图4,当点E在BC边上时,同理可以证明△EFB≌△EHC,

∴∠B=∠C,

∴ABCD是“准等腰梯形”.

如图5,当点E在四边形ABCD的外部时,同理可以证明△EFB≌△EHC,

∴∠EBF=∠ECH.

∵BE=CE,

∴∠3=∠4,

∴∠EBF-∠3=∠ECH-∠4,

即∠1=∠2,

∴四边形ABCD是“准等腰梯形”.

13.(2013•北京)对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下的定义:若⊙C上存在两个点A、B,使得∠APB=60°,则称P为⊙C的关联点.已知点D( , ),E(0,-2),F(2 ,0).

(1)当⊙O的半径为1时,

①在点D、E、F中,⊙O的关联点是 .

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线l上的点P(m,n)是⊙O的关联点,求m的取值范围;

(2)若线段EF上的所有点都是某个 圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围.

13.解:(1)①如图1所示,过点E作⊙O的切线设切点为R,

∵⊙O的半径为1,∴RO=1,

∵EO=2,

∴∠OER=30°,

根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点,使得组成的角等于30°,

∴E点是⊙O的关联点,

∵D( , ),E(0,-2),F(2 ,0),

∴OF>EO,DO

∴D点一定是⊙O的关联点,而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°,

故在点D、E、F中,⊙O的关联点是D,E;

故答案为:D,E;

②由题意可知,若P要刚好是⊙C的关联点,

需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°,

由图2可知∠APB=60°,则∠CPB=30°,

连接BC,则PC= =2BC=2r,

∴若P点为⊙C的关联点,则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r;

由上述证明可知,考虑临界点位置的P点,

如图3,点P到原点的距离OP=2×1=2,

过点O作l轴 的垂线OH,垂足为H,tan∠OGF= = ,

∴∠OGF=60°,

∴OH=OGsin60°= ;

sin∠OPH= ,

可得点P1与点G重合,

过点P2作P2M⊥x轴于点M,

可得∠P2OM=30°,

从而若点P为⊙O的关联点,则P点必在线段P1P2上,

∴0≤m≤ ;

(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,欲使这个圆的半径最小,则这个圆的圆心应在线段EF的中点;

考虑临界情况,如图4,

即恰好E、F点为⊙K的关联时,则KF=2KN= EF=2,

此时,r=1,

故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,这个圆的半径r的取值范围为r≥1.

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