图4­3­47

特殊的平行四边形

1.B　2.C　3.B　4.A　5.C

6.∠B=90°或∠BAC+∠BCA=90°

7.证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD∥BC，∠B=90°.

∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°.

∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.

又∵AD=AE，∴△ADF≌△EAB.

∴DF=AB.∴DF=DC.

8.证明：由平移变换的性质，得

CF=AD=10 cm，DF=AC，

∵∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm，

∴AC2=AB2+CB2，即AC=10 cm.

∴AC=DF=AD=CF=10 cm.

∴四边形ACFD是菱形.

9.(1)证明：∵点O为AB的中点，OE=OD，

∴四边形AEBD是平行四边形.

∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，

∴AD⊥BC.即∠ADB=90°.

∴四边形AEBD是矩形.

(2)解：当△ABC是等腰直角三角形时，

矩形AEBD是正方形.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAD=∠CAD=∠DBA=45°.∴BD=AD.

由(1)知四边形AEBD是矩形，

∴四边形AEBD是正方形.

10.D　11.12

12.5　解析：连接BP，交AC于点Q，连接QD.∵点B与点D关于AC对称，∴BP的长即为PQ+DQ的最小值，

∵CB=4，DP=1.∴CP=3，在Rt△BCP中，

BP=BC2+CP2=42+32=5.

13.(1)证明：在矩形ABCD中，

AB=CD，∠A=∠D=90°，

又∵M是AD的中点，∴AM=DM.

∴△ABM≌△DCM(SAS).

(2)解：四边形MENF是菱形.证明如下：

E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，

∴NE∥MF，NE=MF.

∴四边形MENF是平行四边形.

由(1)，得BM=CM，∴ME=MF.

∴四边形MENF是菱形.

(3)2∶1　解析：当AD∶AB=2∶1时，四边形MENF是正方形.理由：

∵M为AD中点，∴AD=2AM.

∵AD∶AB=2∶1，∴AM=AB.

∵∠A=90，∴∠ABM=∠AMB=45°.

同理∠DMC=45°，∴∠EMF=180°-45°-45°=90°.

∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形.