B级　中等题

11.(2013年山东淄博)在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图6­4­21，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有__________条.

图6­4­21

12.如图6­4­22，大江的同一侧有A，B两个工厂，它们都有垂直于江边的小路，AD，BE的长度分别为3千米和2千米，且两条小路之间的距离为5千米.现要在江边建一个供水站向A，B两厂送水，欲使供水管路最短，则供水站应建在距E处多远的位置?

13.(2012年湖南株洲)如图6­4­23，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.点M在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒;同时点N在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒.

(1)当t为何值时，∠AMN=∠ANM;

(2)当t为何值时，△AMN的面积最大?并求出这个最大值.

图6­4­23

C级　拔尖题

14.(2013年山东滨州)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图6­4­24.其中BA=CD，BC=20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm,8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长(材质及其厚度等暂忽略不计)?

图形的相似

11.3

12.解：如图55，作出点B关于江边的对称点C，连接AC，则BF+FA=CF+FA=CA.

根据两点之间线段最短，可知当供水站在点F处时，供水管路最短.

∵△ADF∽△CEF，

∴设EF=x，则FD=5-x，

根据相似三角形的性质，得

EFFD=CEAD，即x5-x=23，解得x=2.

故供水站应建在距E点2千米处.

图55

13.解：(1)由题意，得AM=12-t，AN=2t.

∵∠AMN=∠ANM，

∴AM=AN，从而12-t=2t，

解得t=4秒.

∴当t为4秒时，∠AMN=∠ANM.

(2)如图56，过点N作NH⊥AC于点H，

∴∠NHA=∠C=90°.

∵∠A是公共角，∴△NHA∽△BCA.

∴ANAB=NHBC，即2t13=NH5，∴NH=10t13.

从而有S△AMN=12(12-t)•10t13=-513t2+6013t，

∴当t=6时，S有最大值为18013.

14.解：如图57，过点C作CM∥AB，交EF，AD于N，M，作CP⊥AD，交EF，AD于Q，P.

由题意，得四边形ABCM是平行四边形，

∴EN=AM=BC=20 cm.

∴MD=AD-AM=50-20=30(cm).

由题意知CP=40 cm，PQ=8 cm，∴CQ=32 cm.

∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.

∴NFMD=CQCP，即NF30=3240.

解得NF=24 cm.

∴EF=EN+NF=20+24=44(cm).

答：横梁EF应为44 cm.

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