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2013-12-31
【考点】圆与圆的位置关系,因式分解法解一元二次方程。
【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径,再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解:∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程 的两根,解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3。
①当两圆外切时,圆心距O1O2=t+2=1+3=4,解得t=2;
②当两圆内切时,圆心距O1O2=t+2=3-1=2,解得t=0。
∴t为2或0。
6. (2012江苏扬州3分)如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B两点,点C在⊙O上,如果ACB=70°,那么∠P的度数是 ▲ .
【答案】40°。
【考点】切线的性质,圆周角定理,多边形内角与外角。
【分析】如图,连接OA,OB,
∵PA、PB是⊙O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP。
∴∠OAP=∠OBP=90°,
又∵∠AOB和∠ACB都对弧 所对的圆心角和圆周角,且∠ACB=70°,
∴∠AOB=2∠ACB=140°。
∴∠P=360°-(90°+90°+140°)=40°。
三、解答题
1. (2012江苏常州10分)在平面直角坐标系xOy中,已知动点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m>0)。以点P为圆心, 为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C、D两点(D点在点C的上方)。点E为平行四边形DOPE的顶点(如图)。
(1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示);
(2)连接DB、BE,设△BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D),连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么?
(3)连接BC,求∠DBC-∠DBE的度数。
【答案】解:(1)B(3m,0),E(m,4m)。
(2)线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下:
由(1)知B(3m,0),E(m,4m),
∵根据圆的对称性,点D点B关于y=x对称,
∴D(0,3m)。
∴ , ,
。
∴ 。∴△BDE是直角三角形。
∴BE是△BDE的外接圆的直径。
设△BDE的外接圆的圆心为点G,则由B(3m,0),E(m,4m)得G(2m,2m)。
过点G作GI⊥DG于点I,则I(0,2m)。
根据垂径定理,得DI=IQ ,∴Q(0,m)。
∴ 。
∴BQ=EQ。
(3)延长EP交x轴于点H,则EP⊥AB,BH=2m。
根据垂径定理,得AH=BH=2m,AO= m。
根据圆的对称性,OC=OA= m。
又∵OB=3m, , ,
∴ 。 。
又∵∠COB=∠EDB=900,∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。
∴∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO。
又∵OB=OC,∴∠DBO=450。∴∠DBC-∠DBE=450。
【考点】直线上点的坐标与方程的关系,勾股定理和逆定理,圆的对称性,平行四边形的性质,中点坐标,圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)过点P 作PH⊥x轴于点H,PF⊥y轴于点F,连接OE,BP。
∵点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m>0),
∴ P(m,m),H(m,0),F(0,m),OH=OF=HP= m。
∵PB= ,∴ 。
∴OB=3 m。∴B(3m,0)。
∵根据圆的对称性,点D点B关于y=x对称,∴D(0,3m)。
∵四边形DOPE是平行四边形,∴PE=OD=3m,HE=4m。∴E(m,4 m)。
(2)由勾股定理和逆定理,易知△BDE是直角三角形,从而根据圆周角定理和垂径定理可得点Q的坐标,从而根据勾股定理可求出BQ和EQ的长比较即得。
(3)求出有关线段的长,可得 ,从而证得△COB∽△EDB,得到∠OBC=∠DBE。因此∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO=450。
2. (2012江苏南京8分)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成,如图,在 和扇形 中, 与 、 分别相切于A、B, ,E、F事直线 与 、扇形 的两个交点,EF=24cm,设 的半径为x cm,
① 用含x的代数式表示扇形 的半径;
② 若 和扇形 两个区域的制作成本分别为0.45元 和0.06元 ,当 的半径为多少时,该玩具成本最小?
【答案】解:(1)连接O1A。
∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B,
∴O1A⊥O2C,O2E平分∠CO2D。
∵ ,∴∠AO2O1= ∠CO2D=30°。
在Rt△O1AO2中, ,∴O1O2=A O1 sin∠AO2O1 =x sin30° =2x。
∵EF=24cm,∴FO2=EF-EO1-O1O2=24-3x,即扇形O2CD的半径为(24-3x)cm。
3. (2012江苏南京10分)如图,A、B为⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A、B重合),我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。
(1)已知∠APB是 上关于点A、B的滑动角。
① 若AB为⊙O的直径,则∠APB=
② 若⊙O半径为1,AB= ,求∠APB的度数
(2)已知 为 外一点,以 为圆心作一个圆与 相交于A、B两点,∠APB为 上关于点A、B的滑动角,直线PA、PB分别交 于点M、N(点M与点A、点N与点B均不重合),连接AN,试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。
【答案】解:(1)①900。
②如图,连接AB、OA、OB.
在△AOB中,∵OA=OB=1.AB= ,∴OA2+OB2=AB2。
∴∠AOB=90°。
当点P在优弧 AB 上时(如图1),∠APB= ∠AOB=45°;
当点P在劣弧 AB 上时(如图2),
∠APB= (360°-∠AOB)=135°。
(2)根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况.
第一种情况:点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点B在点P与点N之间,如图3,
∵∠MAN=∠APB+∠ANB,
∴∠APB=∠MAN-∠ANB。
第二种情况:点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点N在点P与点B之间,如图4,
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+(180°-∠ANB),
∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°。
第三种情况:点P在⊙O2外,且点M在点P与点A之间,点B在点P与点N之间,如图5,
∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°,
∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB。
第四种情况:点P在⊙O2内,如图6,
∠APB=∠MAN+∠ANB。
【考点】圆周角定理,勾股定理逆定理,三角形内角和定理和外角性质。
【分析】(1)①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB=900。
②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°,再分点P在优弧 上;点P在劣弧 上两种情况讨论即可。
总结:2012年常州中考数学圆试题就介绍到这里了,希望能帮助同学们更好的复习本门课程,更多精彩学习内容请继续关注精品学习网!
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