三、解答题(共40分)

11.(10分)(2014•梅州)如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C.

(1)求证：AB与⊙O相切;

(2)若∠AOB=120°，AB=43，求⊙O的面积.

解：(1)证明：连接OC，∵在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，∴OC⊥AB，∵以O为圆心的圆过点C，∴AB与⊙O相切

(2)解：∵OA=OB，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∵AB=43，C是边AB的中点，∴AC=12AB=23，∴OC=AC•tan∠A=23×33=2，∴⊙O的面积为π×22=4π

(10分)(2013•陕西)如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥BC交⊙O于E，F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线l于B，C两点.

(1)求证：∠ABC+∠ACB=90°;

(2)若⊙O的半径R=5，BD=12，求tan∠ACB的值.

解：(1)证明：如图，∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°

(2)连接OD，则OD⊥BD.过点E作EH⊥BC，垂足为点H，∴EH∥OD，∵EF∥BC，EH∥OD，OE=OD，∴四边形EODH是正方形.∴EH=HD=OD=5，∵BD=12，∴BH=7，在Rt△BEH中，tan∠BEH=BHEH=75，又∵∠ABC+∠BEH=90°，∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEH，∴tan∠ACB=75

13.(10分)(2014•呼和浩特)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM.

(1)求证：∠ACM=∠ABC;

(2)延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径.

解：(1)连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，又∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥CM，∴∠ACM+∠ACO=90°，∵CO=AO，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACM=∠ABC

(2)∵BC=CD，∴OC∥AD，又∵OC⊥CE，∴AD⊥CE，∴△AEC是直角三角形，∴△AEC的外接圆的直径是AC，又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，∴∠BAC=∠ECD，∴△ABC∽△CDE，∴ABCD=BCED，⊙O的半径为3，∴AB=6，∴6CD=BC2，∴BC2=12，∴BC=23，∴AC=36-12=26，∴△AEC的外接圆的半径为6

14.(10分)(2014•丽水)如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，过点F作FG⊥AB，垂足为点G，连接GD.

(1)求证：DF是⊙O的切线;

(2)求FG的长;

(3)求tan∠FGD的值.

(1)证明：连结OD，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线

(2)解：∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD=CD=6.在Rt△CDF中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=12CD=3，∴AF=AC-CF=12-3=9，在Rt△AFG中，∵∠A=60°，∴FG=AF•sinA=9×32=932

(3)解：过点D作DH⊥AB于点H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD=∠GDH.在Rt△BDH中，∠B=60°，∴∠BDH=30°，∴BH=12BD=3，DH=3BH=33.在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，∴AG=12AF=92，∵GH=AB-AG-BH=12-92-3=92，∴tan∠GDH=GHDH=9233=32，∴tan∠FGD=tan∠GDH=32

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