三、解答题

10.(2013•莆田)定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点.

如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.

(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点;

(2)求出线段AD的长.

10.解：(1)∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，

∴AD=BD，BC=BD，

∴△ABC∽△BDC，

∴ ，即 ，

∴AD2=AC•CD.

∴点D是线段AC的黄金分割点.

(2)∵点D是线段AC的黄金分割点，

∴AD= AC= .

11.(2013•大庆)对于钝角α，定义它的三角函数值如下：

sinα=sin(180°-α)，cosα=-cos(180°-α)

(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值;

(2)若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小.

11.解：(1)由题意得，

sin120°=sin(180°-120°)=sin60°= ，

cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°=- ，

sin150°=sin(180°-150°)=sin30°= ;

(2)∵三角形的三个内角的比是1：1：4，

∴三个内角分别为30°，30°，120°，

①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为 ，- ，

将 代入方程得：4×( )2-m× -1=0，

解得：m=0，

经检验- 是方程4x2-1=0的根，

∴m=0 符合题意;

②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为 ， ，不符合题意;

③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为 ， ，

将 代入方程得：4×( )2 -m× -1=0，

解得：m=0，

经检验 不是方程4x2-1=0的根.

综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°.

12.(2013•安徽)我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”.其中∠B=∠C.

(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引 一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可);

(2)如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C.E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证： ;

(3)在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E.若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时(即图3所示情形)，四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么?若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何?写出你的结论.(不必说明理由)

12.解：(1)如图1，过点D作DE∥BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE;

(2)∵AB∥DE，

∴∠B=∠DEC，

∵AE∥DC，

∴∠AEB=∠C，

∵∠B=∠C，

∴∠B=∠AEB，

∴AB=AE.

∵在△ABE和△DEC中，

，

∴△ABE∽△DEC，