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函数的图像与性质苏州市中考试题及答案

一、选择题

1. (2001江苏苏州3分)如图，L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长ycm与所挂物体质量xkg之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系是【 】

A.k甲>k乙 B.k甲=k乙 C.k甲

【答案】A。

【考点】一次函数的应用。

【分析】∵直线的倾斜程度与它的斜率有直接关系，斜率的绝对值越大，直线越倾斜，

∴根据图示可知，L甲的倾斜程度大于L乙的倾斜程度，所以k甲>k乙。故选A。

2.(江苏省苏州市2003年3分) 已知 ，点 都在函数 的图像上，则【 】

A. B. C. D.

【答案】C。

【考点】二次函数图象上点的坐标特征。

【分析】根据函数 的图象的特点，函数 图象的开口向上，对称轴是y轴，在y轴的左侧y随x的增大而减小，在y轴的右侧y随x的增大而增大：

∵a<-1，∴a-1

∵ 的图象在对称轴 的左侧，y随x的增大而减小，∴ 。故选C。

3.(江苏省苏州市2004年3分)已知正比例函数y=(3k—1)x，若y随x的增大而增大，则的取值范围是【 】

A k<0 B k> 0 C k < D k>

【答案】D。

【考点】正比例函数的性质。

【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出k的取值范围：根据y随x的增大而增大，知：3k-1>0，

即k> 。故选D。

4.(江苏省苏州市2005年3分)将直线 向上平移两个单位，所得的直线是【 】

A. B. C. D.

【答案】A。

【考点】一次函数图象与平移变换。

【分析】直线平移时k的值不变，只有b发生变化，因此，原直线的k=2，b=0，向上平移两个单位得到了新直线，新直线的k=2，b=0+2=2。∴新直线的解析式为 。故选A。

5.(江苏省苏州市2010年3分)如图，已知 、 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)， 的圆心坐标为(-1，0)，半径为1.若 是 上的一个动点，线段 与 轴交于点 ，则 面积的最小值是【 】

A.2 B.1 C. D.

【答案】C。

【考点】直角坐标系和坐标，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】 中 边上的高 2，要使面积最小，只需 最短，由图知 为 切线时， 最短。如图，当 为 切线时，连接 。

∵ 为 切线，∴ 。

∴ 。∴ ，即 。

又∵ 、 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)， 的圆心坐标为(-1，0)，半径为1，

∴ ， =2， ，∴ 。

又∵ ，∴ 。∴ 。

∴当 为 切线时， 面积的最小值为 。故选C。

6.(江苏省苏州市2011年3分)如图，已知A点坐标为(5，0)，直线 与y轴交于点B，连接AB，∠a=75°，则b的值为【 】

A.3 B. C.4 D.

【答案】B。

【考点】一次函数，特殊角三角函数值。

【分析】根据三角函数求出点B的坐标，即可求得b的值：由 可知，k=1，故在△OAB中，

∠OBA ，∴ 。故选B。

7. (2012江苏苏州3分)若点(m，n)在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是【 】

A.2 B.-2 C.1 D. -1

【答案】D。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将点(m，n)代入函数y=2x+1，得到m和n的关系式：n=2m+1，即2m-n=-1。故选D。

二、填空题

1. (2001江苏苏州2分)已知抛物线 的顶点的横坐标是2，则m的值是 ▲ 。

【答案】 。

【考点】二次函数的顶点坐标。

【分析】由抛物线 的顶点的横坐标是2，根据顶点公式 得 ，解得 。

2. (2001江苏苏州2分)如图，A、B、C是二次函数 的图象上的三点.根据图中给出的三点的位置情况，可得a、c、△( )与零的大小关系是：a ▲ 0，c ▲ 0，△ ▲ 0。(填入“>”、“<”或“=”)

【答案】<、<、>。

【考点】二次函数图象与系数的关系。

【分析】根据二次函数图象的开口方向来判断a的符号;由图象与y轴的交点来判断c的符号;根据图象与x轴交点的个数来判断根的判别式的符号：

画草图得，此函数开口向下，所以a<0;

与y轴的交点为在y轴的负半轴上，所以c<0;

抛物线与x轴有两个交点，∴ >0。故答案是：<、<、>。

3.(江苏省苏州市2002年2分)抛物线 的顶点坐标是 ▲

【答案】(1，2)。

【考点】二次函数的性质。

【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标：由 ，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(1，2)。

4. (江苏省苏州市2002年2分)设有反比例函数 ， 、 为其图象上的两点，若 时， ，则 的取值范围是 ▲

【答案】 <-1。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质。

【分析】由给出的条件确定双曲线所在的象限，然后列出不等式解出 的范围：

∵ 时， ，∴双曲线在第二，四象限，则 +1<0，解得 <-1。

5. (江苏省苏州市2003年2分)已知点(1，-2)在反比例函数 的图像上，则 = ▲ 。

【答案】-2。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系：已知点(1，-2)在反比例函数 的图象上，则把(1，-2)，代入解析式就可以得到k的值： ，则k=-2。

6.(江苏省苏州市2004年3分)已知(x1，y1)，(x2，y2)为反比例函数 图象上的点，当x1

【答案】-1(答案不唯一)。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。

【分析】∵当x1

7. (江苏省苏州市2005年3分)已知反比例函数 ，其图象在第一、第三象限内，则 的值可为 ▲ 。(写出满足条件的一个 的值即可)

【答案】3(答案不唯一，只要符合 >2即可)。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据反比例函数的性质解答：

∵反比例函数 ，其图象在第一、第三象限内，∴ >0，即 >2。故 的值可为3(答案不唯一，只要符合 >2即可)。

8. (江苏省苏州市2006年3分)抛物线 的对称轴是x=_ ▲ .

【答案】 。

【考点】二次函数的性质。

【分析】根据求对称轴的公式，直接求解：

∵a=2，b=4，∴抛物线 的对称轴是 。

9. (江苏省苏州市2007年3分)已知点P在函数 (x>0)的图象上，PA⊥x轴、PB⊥y轴，垂足分

别为A、B，则矩形OAPB的面积为 ▲ .

【答案】2。

【考点】反比例函数系数k的几何意义。

【分析】过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|。因此，由于点P在

函数y=2x(x>0)的图象上，矩形OAPB的面积S=|k|=2。

10. (江苏省苏州市2008年3分)初三数学课本上，用“描点法”画二次函数 的图象时.列了如下表格：

••• -2 -1 0 1 2 •••

•••

-4

-2

•••

根据表格上的信息同答问题：该二次函数 在 =3时，y= ▲ .

【答案】-4。

【考点】二次函数的图象。

【分析】由表格可知，(0， )，(2， )是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，由利用对称性知横坐标为3的点关于x=1的对称点是(-1，-4)。根据对称性，x=3与x=-1时，函数值相等，都是-4。

11. (江苏省2009年3分)反比例函数 的图象在第 ▲ 象限.

【答案】二、四。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据反比例函数 的性质：当 时，图象分别位于第一、三象限;当 时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数 的系数 ，∴图象两个分支分别位于第二、四象限。

12. (江苏省苏州市2011年3分)如图，已知点A的坐标为( ，3)，AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数 (k>0)的图象与线段OA、AB分别交于点C、D.若AB=3BD，以点C为圆心，CA的 倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是 ▲ (填“相离”、“相切”或“相交”).

13. (2012江苏苏州3分)已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上，若

x1>x2>1，则y1 ▲ y2.

【答案】>。

【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质。

【分析】由二次函数y=(x-1)2+1知，其对称轴为x=1。

∵x1>x2>1，∴两点均在对称轴的右侧。

∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大。

∵x1>x2>1，∴y1>y2。

14. (2012江苏苏州3分)如图，已知第一象限内的图象是反比例函数 图象的一个分支，第二象限

内的图象是反比例函数 图象的一个分支，在 轴上方有一条平行于 轴的直线 与它们分别交于点A、

B，过点A、B作 轴的垂线，垂足分别为C、D.若四边形ACDB的周长为8且AB

▲ .

【答案】( ，3)。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，解分式方程。

【分析】∵点A在反比例函数 图象上，∴可设A点坐标为( )。

∵AB平行于x轴，∴点B的纵坐标为 。

∵点B在反比例函数 图象上，∴B点的横坐标 ，即B点坐标为( )。

∴AB=a-(-2a)=3a，AC= 。

∵四边形ABCD的周长为8，而四边形ABCD为矩形，

∴AB+A C=4，即3a+ =4，整理得，3a2-4a+1=0，即(3a-1)(a-1)=0。

∴a1= ，a2=1。

∵AB

三、解答题

1. (2001江苏苏州5分)已知如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点。

(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。

2.(江苏省苏州市2004年6分)如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b的图象。

(1)根据图象，求k，b的值;

(2)在图中画出函数y= —2x+2的图象;

(3)求x的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y= —2x+2的函数值。

【答案】解：(1)由图知，直线经过(-2，0)，(0，2)，

把(-2，0)，(0，2)代入解析式y=kx+b得： ，解得 。

(2)取(0，2)，(1，0)连接，得

(3)由(1)得y=kx+b的解析式为y=x+2，

∴x+2>—2x+2，解得x>0。

∴使函数y=kx+b的函数值大于函数y= —2x+2的函数值的x的取值范围为x>0。

【考点】待定系数法求一次函数解析式，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数的图象。

【分析】(1)由一次函数的图象可看出函数经过(-2，0)(0，2)两点，然后用待定系数法将两点代入一次函数的表达式中求出k，b的值。

(2)可用两点法画函数y=-2x+2的图象，即先确定函数上的两点(一般是与x，y轴的交点)，然后两点确定一条直线。

(3)函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值，kx+b>-2x+2，由(1)中，k、b的值即能求出x的范围。【也可以图象解】

3. (江苏省苏州市2002年5分) 已知反比例函数 和一次函数 的图象都经过点 。

(1)求点P的坐标和这个一次函数的解析式;

(2)若点 和点 都在这个一次函数的图象上，试通过计算或利用一次函数的性质，说明 大于 。

【答案】解：(1)∵双曲线 过点 ，∴ ，即 。∴ 。

∵直线 过点 ，∴ ，即 。

∴这个一次函数的解析式为 。

(2)∵ 中， ， ∴根据一次函数的性质， 随 的增大而减少。

又∵ ，∴ 。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)将点 代入反比例函数解析式可得 ，故 。再将点 代入一次函数解析式可得 ，从而得到一次函数的解析式。

(2)根据一次函数的性质， ， 随 的增大而减少，由 即可得 。

4. (江苏省苏州市2003年7分) 已知直线 过点(3，4)。

(1)求b的值;

(2)当x取何值时， ?

【答案】解：(1)∵直线 过点(3，4)，

∴4=3+b，解得b=1。

(2)由(1)得 ，

令y<0，即x+1<0，得x<-1。

∴当x<-1时，y<0。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系，一次函数与一元一次不等式。

【分析】(1)根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，直接把点(3，4)代入直线 ，就可求得b。

(2)y<0，即x+1<0，解不等式即可解决。

5. (江苏省苏州市2003年6分)已知抛物线 与x轴交于两点 ，

(1)求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧;

(2)若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=OC-2，求a的值。

【答案】解：(1)∵抛物线与x轴交于 ， ，且 ，

∴ ，解得a< 。

又∵a≠0，∴ ，即 必同号。

又∵ ，∴ 必同为负数。

∴点 ， 都在原点的左侧。

(2)当 时， 。

∵ 同为负数，∴由OA+OB=OC-2，得 。

∴ ，即 ，解得， 。

又∵a< ，且a≠0，∴a的值为-3。

【考点】二次函数综合题，二次函数图象与 轴交点问题，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】(1 )首先令抛物线的值y=0，可得出一个关于x的方程，那么 ，因此 同号，然后可根据抛物线与x轴有两个坐标不同的交点即方程的△>0以及 的值来得出点A、B均在原点O左侧。

(2)可先根据一元二次方程根与系数的关系用a表示出OA、OB的长，然后用a表示出OC的长，然后根据题中给出的等量关系：OA+OB=OC-2求出a的值。

6. (江苏省苏州市2005年6分)已知二次函数 。

(1)求证：对于任意实数 ，该二次函数图象与 轴总有公共点;

(2)若该二次函数图象与 轴有两个公共点A、B，且A点坐标为(1，0)，求B点坐标。

【答案】解：(1)∵对于 有△ ，

又∵ ≥0，

∴△≥0。

∴对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点。

(2)∵点A(1，0)在二次函数图象上，

∴把(1，0)代入二次函数关系式，得 ，解得 。

当 时，二次函数关系式为： 。

令y=0，得： ，解得：x=1或-2。

∴二次函数图象与x轴有两个公共点的坐标是：(1，0)，(-2，0)。

又∵A点坐标为(1，0)，∴B(-2，0)。

当m=1时，同理可得：B( ，0)。

【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程根的判别式。

【分析】(1)依题意可得△=9m2得出△≥0，可得出二次函数图象与x轴总有公共点。

(2)把已知坐标代入可得m值，然后把m的值及y=0代入二次函数可求出点B的坐标。

7. (江苏省苏州市2006年6分)已知函数 和 .

(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值;

(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?

【答案】解;(1) ∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴ ，∴ 。

(2)将y= 代人y=kx+l，消去y.得kx2+x一2=0.

∵k≠0，∴要使得两函数的图象总有 公共点，只要△≥0即可。

∵△=1+8k，

∴由1+8k≥0解得k≥

∴当k≥ 且k≠0时，这两个函数的图象总有公共点。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式。

【分析】(1)因为这两个函数的图象都经过点(1，a)，所以x=1，y=a是方程组 的解，代入可得a和k的值。

(2)要使这两个函数的图象总有公共点，须方程组 有解，即 =kx+1有解，根据判别式△即可求出k的取值范围。

8. (江苏省苏州市2006年8分)司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间.之后还会继续行驶一段距离.我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”(如图).