顺时针旋转得到F1点，由旋转对称的性质知F1C=EC =1。

逆时针旋转得到F2点，则F2B=DE = 2, F2C =F2B+BC=5。

11.(上海市2011年4分)Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=50°，点D在边BC上，BD=2CD(如图).把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0

【答案】80°或120°。

【考点】图形旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，邻补角定义。

【分析】由已知，B恰好落在初始Rt△ABC的边上且旋转角0°

当点B落在AB边上时(如图中红线)，由旋转的性质知△DBE是等腰三角形，由∠B=50°和等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理可得m=∠BDE=80°。

当点B落在AC边上时(如图中蓝线)，在Rt△CDH中，由已知BD=2CD，即DH=2CD，得∠CDH的余弦等于 ，从而由特殊角三角函数值得∠CDH=60°，所以根据邻补角定义得m=∠BDH=120°。

12.(2012上海市4分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为 ▲ .

三、解答题

1. (2001上海市10分)如图，已知抛物线y=2x2-4x+m与x轴交于不同的两点A、B，其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点.

(1)求实数m的取值范围;

(2)求顶点C的坐标和线段AB的长度(用含有m的式子表示);

(3)若直线 分别交x轴、y轴于点E、F，问△BDC与△EOF是否有可能全等，如果可能，请证明;如果不可能，请说明理由.

【答案】解：(1)令y=0，则有2x2-4x+m=0，依题意有，△=16-8 m>0，∴m<2。

又∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，∴m>0.

因此实数m的取值范围为0

(2)∵ ，∴C(1，m-2)。

令y=0，2x2-4x+m =0，则 (由(1)知 )。

∴AB= 。

(3)在 中令y=0，得x= ，∴E( ，0)。

令x=0，得y=1，∴F(0，1)。

∴OE= ，OF=1。

由(2)可得BD= ， CD=2-m。

当OE=BD时， ，解得m =1。

此时OF=DC=1。

又∵∠EOF=∠CDB=90°，∴△BDC≌△EOF(SAS)。∴两三角形有可能全等。

【考点】二次函数综合题，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，二次函数的性质和应用，全等三角形的判定。

【分析】(1)由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，因此对应的一元二次方程的根的判别式△>0，求解即可。

(2)直接根据顶点式得到顶点坐标和与x轴的交点坐标，再求AB的长度。

(3)要求判定△BDC与△EOF是否有可能全都，即指探索全都的可能性，本题已有∠CDE=∠EOF=90°，BD与OE或OF都可能是对应边，证出其中一种情形成立即可。

2. (2001上海市12分)已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD

(1)如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A.

①求证;△ABP∽△DPC

②求AP的长.

(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;

②当CE=1时，写出AP的长(不必写出解题过程).

【答案】解：(1)∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC。∴∠A=∠D。

∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A。

∴∠ABP=∠DPC。∴△ABP∽△DPC。

∴ ，即： ，解得：AP=1或AP=4。

(2)①由(1)可知：△ABP∽△DPQ，

∴ ，即： 。

∴ 。

②当CE=1时，AP=2或 。

【考点】动点型问题，二次函数综合题，等腰梯形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解高次方程。

【分析】(1)当∠BPC=∠A时，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此时△APB与△DPC相似，那么可得出关于AP，PD，AB，CD的比例关系式，AB，CD的值题中已有，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例关系式中求出AP的长。

(2)①与(1)的方法类似，只不过把DC换成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了.然后按得出的关于AB，AP，PD，DQ的比例关系式，得出x，y的函数关系式。

②和①的方法类似，先通过平行得出△PDQ和△CEQ相似，根据CE的长，用AP表示出PD，然后根据PD，DQ，QC，CE的比例关系用AP表示出DQ，然后按①的步骤进行求解即可：

∵AD∥BC，∴△PDQ∽△CEQ。∴ ，即 。

当点E在BC上时，

式中AD=5，EC=1，AP=x，CQ= ，DQ= ，

∴ ,即 ， 。

解得，适合条件的解为 ( 和 在 之外)。

当点E在BC延长线上时，此时 。

式中AD=5，EC=1，AP=x，CQ= ，DQ= ，

∴ ,即 ， 。

解得， 或 或 ，舍去在 之外的 和 ，

∴ 。

综上所述，当CE=1时， AP的长为 或 。

3. (上海市2002年10分)如图，直线y= x+2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP=9.

(1)求点P的坐标;

(2)设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.

【答案】解：(1)由题意，得点C(0，2)，点A(-4，0)。

设点P的坐标为(a， a+2)，其中a>0。

由题意，得S△ABP= (a+4)( a+2)=9，

解得a=2或a=-10(舍去)。

而当a=2时， a+2=3，∴点P的坐标为(2，3)。

(2)设反比例函数的解析式为 。

∵点P在反比例函数的图象上，∴ ，k=6 。

∴反比例函数的解析式为 。

设点R的坐标为(b， )，点T的坐标为(b，0)其中b>2，那么BT=b-2，RT= 。

①当△RTB∽△AOC时， ，即 ，

∴ ，解得b=3或b=-1(舍去)。

∴点R 的坐标为(3，2)。

②当△RTB∽△COA时， ，即 ，

∴ 　，解得b=1+ 或b=1- (舍去)。

∴点R 的坐标为(1+ ， )。

综上所述，点R的坐标为(3，2)或(1+ ， )。

【考点】一次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。

【分析】(1)根据点在直线上，点的坐标满足方程的性质，求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标。

(2)设R点坐标为(x，y)，求出反比例函数.又因为△BRT∽△AOC，利用线段比联立方程组求出x，y的值。

4.(上海市2002年12分)操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q.

图1　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　图3

探究：设A、P两点间的距离为x.

(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到结论;

(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域;

(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值;如果不可能，试说明理由.

(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用)

【答案】解：(1)PQ=PB。证明如下：

过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形(如图1)。

∴NP=NC=MB。

∵∠BPQ=90°，∴∠QPN+∠BPM=90°。

而∠BPM+∠PBM=90°，∴∠QPN=∠PBM。

又∵∠QNP=∠PMB=90°，∴△QNP≌△PMB(AAS)。

∴PQ=PB。

(2)作PT⊥BC，T为垂足(如图2)，那么四边形PTCN为正方形。

∴PT=CB=PN.

又∠PNQ=∠PTB=90°，PB=PQ，∴△PBT≌△PQN(HL)。

∴S四边形PBCQ=S△四边形PBT+S四边形PTCQ=S四边形PTCQ+S△PQN=S正方形PTCN　? =CN2=(1- )2= x2- +1

∴y= x2- +1(0≤x< )。

(3)△PCQ可能成为等腰三角形。

①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ=QC，△PCQ是等腰三角形，此时x=0。

②当点Q在边DC的延长线上，且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形(如图3)

此时，QN=PM= x，CP= -x，CN= CP=1- x。

∴CQ=QN-CN= x-(1- x)= x-1。

当 -x= x-1时，得x=1。

【考点】二次函数综合题，正方形的性质。

【分析】(1)过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，可得四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形;根据等腰三角形的性质与角的互余关系进行代换可得△QNP≌△PMB，故PQ=PB。

(2)由(1)的结论，根据图形可得关系S四边形PBCQ=S△四边形PBT+S四边形PTCQ=S四边形PTCQ+S△PQN=S正方形PTCN，代入数据可得解析式。

(3)分①当点P与点A重合，与②当点Q在边DC的延长线上，两种情况讨论，分别讨论答案。

5. (上海市2003年10分)已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是 轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数 的图象经过点A、B，与 轴相交于点C。

(1) 、 的符号之间有何关系?

(2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证 、 互为倒数;

(3)在(2)的条件下，如果 =-4，AB= ，求 、 的值。

【答案】解：(1)由图可知：当抛物线开口向下，即 <0时， <0(如图);

当抛物线开口向上，即 >0时， >0;

因此 、 同号。

(2)设A(m，0)，B(n，0)，

抛物线的解析式 中，令 =0，得： 。

∴OA•OB=mn= ，OC2= 。

∵OA•OB=OC2，∴ = ，解得 =1。

所以 、 互为倒数。

6.(上海市2003年12分)如图，在正方形ABCD中，AB=1 ，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合)，过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点：

(1)当∠DEF=45º时，求证：点G为线段EF的中点;

(2)设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;

(3)将△DEF沿直线EF翻折后得△D EF，如图，当EF= 时，讨论△AD D与△ED F是否相似，如果相似，请加以证明;如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。

【答案】解：(1)证明：∵∠DEF=45°，∴∠DFE=90°-∠DEF=45°。∴∠DFE=∠DEF。∴DE=DF。

又∵AD=DC，∴AE=FC。

∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，∴AD切圆B于点A。

同理：CD切圆B于点C。

又∵EF切圆B于点G，∴AE=EG，FC=FG。

∴EG=FG，即G为线段EF的中点。

(2)根据(1)中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，

根据勾股定理，得(x+y)2=(1-x)2+(1-y)2，∴y= (0

(3)当EF= 时，由(2)得EF=EG+FG=AE+FC，即x+ = ，解得x1= 或x2= 。

①当AE= 时，△AD1D∽△ED1F，证明如下：

设直线EF交线段DD1于点H，由题意，得：△EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH=D1H。

∵AE= ，AD=1，∴AE=ED。∴EH∥AD1，∠AD1D=∠EHD=90°。

又∵∠ED1F=∠EDF=90°，∴∠ED1F=∠AD1D。∴△ED1F∽△AD1D。

②当AE= 时，△ED1F与△AD1D不相似。

【考点】切线的性质，正方形的性质，翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定。

【分析】(1)根据等腰三角形的三线合一进行证明，能够熟练运用等腰直角三角形的性质和切线长定理发现G为线段EF的中点。

(2)根据切线长定理、正方形的性质得到有关的线段用x，y表示，再根据勾股定理建立函数关系式。

(3)结合(2)中的函数关系式，求得x的值.分两种情况分别分析，根据切线长定理找到角之间的关系，从而发现正方形，根据正方形的性质得到两个角对应相等，从而证明三角形相似。

7. (上海市2004年10分)在△ABC中， ，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动(与点B、C不重合)，设 ，△AOC的面积为 。

(1)求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域;

(2)以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积。

【答案】解：(1)∵在 ，∴ 。

∵ ，∴ ，且 边上的高为2。

∴ 。

∴ 关于 的函数解析式为 。

(2)如图，过点A作AD⊥BC于点D，当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意;当点O与点D不重合时，在 中， 。

∵圆A的半径为1，圆O的半径为 ，

∴①当圆A与圆O外切时， ，解得： 。

此时△AOC的面积 。

②当圆A与圆O内切时， ，解得 。

此时△AOC的面积 。

∴当圆A与圆O相切时，△AOC的面积为 或 。

【考点】勾股定理，建立函数关系式，两圆相切的性质。

【分析】(1)用 表示出 ，即可建立 关于 的函数解析式。

(2)根据两圆相切的性质，分两圆外切和内切即可。

8.(上海市2004年12分)数学课上，老师出示图和下面框中条件。

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为(1，0)，点B在 轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作 轴的垂线，分别交二次函数 的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交 轴于点H，记点C、D的横坐标分别为 ，点H的纵坐标为 .

同学发现两个结论：

① ;

②数值相等关系： 。

(1)请你验证结论①和结论②成立;

(2)请你研究：如果将上述框中的条件“A点坐标(1，0)”改为“A点坐标为 ”，其他条件不变，结论①是否仍成立?(请说明理由)

(3)进一步研究：如果将上述框中的条件“A点坐标(1，0)”改为“A点坐标为 ”，又将条件“ ”改为“ ”，其他条件不变，那么 和 有怎么样的数值关系?(写出结果并说明理由)

【答案】解：(1)由已知可得点 的坐标为(2，0)，点C的坐标为(1，1)，点D的坐标为(2，4)，由点C坐标为(1，1)易得直线OC的函数解析式为

∴点M的坐标为(2，2)，

∴ 。

∴ ， 即结论①成立。

设直线CD的函数解析式为

则 ，得

∴直线CD的函数解析式为 ;

由上述可得，点H的坐标为(0，-2)， 。

∵ ，∴ ，即结论②成立。

(2)结论①仍成立，理由如下：

∵点A的坐标为 ，则点B坐标为( )，从而点C坐标为 ，点D坐标为 ，设直线OC的函数解析式为 ，则 ，得 。

∴直线OC的函数解析式为 。

设点M的坐标为( )，

∵点M在直线OC上， ∴当 时， ，点M的坐标为( )。

∴ 。

∴结论①仍成立。

(3) ，理由如下：

由题意，当二次函数的解析式为 ，且点A坐标为(t，0)( )时，点C坐标为( )，点D坐标为( )，设直线CD的函数解析式为

则

∴直线CD的函数解析式为 。

则点H的坐标为( )， 。

∵ ，∴ 。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式.进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可。

(2)(3)的解法同(1)完全一样。

9. (上海市2005年10分)小明家使用的是分时电表，

按平时段(6：00-22：00)和谷时段(22：00-次日6：00)分别计费，平时段每度电价为0.61元，谷时段每度电价为0.30元，小明将家里2005年1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示(如图)，同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格(如表)

月用电量(度) 电费(元)

1月 90 51.80

2月 92 50.85

3月 98 49.24

4月 105 48.55

根据上述信息，解答下列问题：

(2)计算5月份的用电量和相应电费，将所得结果填入

表中;

(3)小明家这5个月的月平均用电量为　　　　　度;

(4)小明家这5个月的月平均用电量呈　　　　　趋势

(选择“上升”或“下降”);这5个月每月电费呈

趋势(选择“上升”或“下降”);

(5)小明预计7月份家中用电量很大，估计7月份用电可

达500度，相应电费将达243元，请你根据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量.

【答案】解：(1)65+45=110，45×0.61+65×0.3=46.95。

月用电量(度) 电费(元)

1月 90 51.80

2月 92 50.85

3月 98 49.24

4月 105 48.55

5月 110 46.95

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